GALLEY.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename GALLEY.XGP[TEX,DEK] blob sn#422977 filedate 1979-03-07 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000147*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα701
␈βα∨␈↓ α␈εαREDOING␈αP␈α⎇A␈α␈GES␈α286{!
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα702␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αmay␈αcalculate␈αthe␈αsequences␈↓ ¬C␈ελa␈↓ ¬b␈εα,␈↓ ¬x␈ελd␈↓ ε↔␈εα,␈↓ ε-␈ελu␈↓ εP␈εα,␈↓ εf␈ελv␈↓ π⊃␈εαde|ned␈αby␈αthe␈αrules
␈βα5␈↓ ¬S␈εk␈↓ ε	␈εk␈↓ εB␈εk␈↓ εv␈εk
␈βαu␈↓ β~␈ελa␈↓ βC␈εα=␈↓ βq␈ελe␈↓ β␈␈εα,
␈βαx␈↓ ∧x␈ελa␈↓ ¬!␈εα=␈α
2␈↓ ¬a␈ελa␈↓ ε2␈εαmod␈↓ ε|␈ελf␈↓ π
␈εα;
␈ββα␈↓ β+␈ε¬0
␈ββε␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬r␈εk␈↓ ε␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ+␈↓ β~␈ελd␈↓ βC␈εα=␈↓ βq␈ελb␈↓ ∧␈ελe␈↓ ∧~␈εα,
␈ββ.␈↓ ∧x␈ελd␈↓ ¬!␈εα=␈α
(␈↓ ¬[␈ελd␈↓ ε.␈εα+␈↓ εZ␈ελb␈↓ εz␈ελa␈↓ π→␈εα)␈↓ π+␈εαmod␈↓ πu␈ελf␈↓ λπ␈εα;
␈ββ8␈↓ β+␈ε¬0␈↓ β}␈ε¬0
␈ββ<␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬l␈εk␈↓ ¬z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εg␈εk␈↓ π␈εk
␈ββJ␈↓ 
p␈εα(30)
␈ββ↑␈↓ εo␈εa␈↓ λt␈εf
␈ββa␈↓ β⊗␈ελu␈↓ βC␈εα=␈↓ βq␈ελu␈↓ ∧π␈εα,
␈ββd␈↓ ∧t␈ελu␈↓ ¬!␈εα=␈α
(␈↓ ¬[␈ελu␈↓ ε1␈εα+␈↓ ε]␈εα2␈↓ π,␈ελu␈↓ πz␈εα)␈↓ λ␈εαmod␈↓ λV␈εα(␈↓ λb␈εα2␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα␈αλ1);
␈ββg␈↓ ε}␈ε
k␈↓ π
␈ε≠␈␈επ1
␈ββn␈↓ β+␈ε¬0
␈ββr␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬p␈εk␈↓ ¬}␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π@␈εk␈↓ πO␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧∀␈↓ π␈εd␈↓ λd␈εf
␈β∧↔␈↓ β≠␈ελv␈↓ βC␈εα=␈↓ βq␈ελb␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧"␈εα,
␈β∧~␈↓ ∧y␈ελv␈↓ ¬!␈εα=␈α
(␈↓ ¬[␈ελv␈↓ ε-␈εα+␈↓ εY␈ελb␈↓ εy␈εα2␈↓ πG␈ελu␈↓ πj␈εα)␈↓ π|␈εαmod␈↓ λF␈εα(␈↓ λR␈εα2␈↓ λz␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).
␈β∧≥␈↓ π→␈ε
k␈↓ π&␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∧$␈↓ β+␈ε¬0␈↓ β}␈ε¬0
␈β∧(␈↓ ¬	␈εk␈↓ ¬k␈εk␈↓ ¬y␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εf␈εk␈↓ π\␈εk
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαIt␈αis␈αeasy␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αby␈αinduction␈αon␈↓ ¬v␈ελk␈↓ ε∪␈εαthat
␈β¬>␈↓ α=␈εk␈↓ εB␈εk␈↓ πo␈εf
␈β¬D␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓q␈εα=␈α
(␈↓ α+␈εα2␈↓ αK␈ελe␈↓ αZ␈εα)␈↓ αl␈εαmod␈↓ β6␈ελf␈↓ βG␈εα;␈↓ ¬1␈ελu␈↓ ¬↑␈εα=␈α
(␈↓ ε_␈ελc␈↓ ε&␈εα[␈↓ ε0␈εα2␈↓ εV␈εα]␈↓ ε`␈ελu␈↓ εu␈εα)␈↓ ππ␈εαmod␈↓ πQ␈εα(␈↓ π]␈εα2␈↓ λ¬␈ε⊗␈␈εα␈αλ1);
␈β¬O␈↓ α∨␈ε↓␈␈↓ βp␈ε↓↓␈↓ ε␈ε↓␈␈↓ λ↓␈ε↓↓
␈β¬Q␈↓ ↓X␈εk␈↓ ¬F␈εk
␈β¬Y␈↓ 
p␈εα(31)
␈β¬i␈↓ λ⎇␈εf
␈β¬o␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α-␈εα(␈↓ α9␈ελb␈↓ αZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β
␈ελb␈↓ β&␈ελb␈↓ βA␈εα)␈↓ βb␈ελe␈↓ ∧∧␈εαmod␈↓ ∧N␈ελf␈↓ ∧←␈εα;␈↓ ¬6␈ελv␈↓ ¬↑␈εα=␈↓ ε~␈ελc␈↓ ε(␈εα[(␈↓ ε>␈ελb␈↓ ε`␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⊂␈ελb␈↓ π+␈ελb␈↓ πG␈εα)␈↓ πa␈εα]␈↓ πk␈ελu␈↓ λ∃␈εαmod␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈εα2␈↓ 	∪␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).
␈β¬|␈↓ ↓X␈εk␈↓ αF␈εk␈↓ β↔␈ε¬1␈↓ β3␈ε¬0␈↓ βM␈ε¬2␈↓ ¬F␈εk␈↓ εK␈εk␈↓ π≥␈ε¬1␈↓ π8␈ε¬0␈↓ πS␈ε¬2
␈βεF␈↓ ε"␈εf
␈βεK␈↓ ↓H␈εαHence␈αthe␈αdesired␈αresult,␈α(␈↓ ∧b␈ελc␈↓ ∧p␈εα[␈↓ ∧z␈ελb␈↓ ¬	␈εα]␈↓ ¬∪␈ελu␈↓ ¬(␈εα)␈↓ ¬:␈εαmod␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈εα2␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα␈απ1),␈αis␈↓ π:␈ελv␈↓ πW␈εα.␈αThe␈αcalculation␈αof␈↓ 
∃␈ελa␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
J␈ελd␈↓ 
j␈εα,␈↓ 
␈␈ελu␈↓ "␈εα,
␈βεX␈↓ πJ␈εs␈↓ 
&␈εk␈↓ 
[␈εk␈↓ ∀␈εk
␈βεv␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓r␈εαfrom␈↓ αH␈ελa␈↓ β∩␈εα,␈↓ β(␈ελd␈↓ βs␈εα,␈↓ ∧	␈ελu␈↓ ∧W␈εα,␈↓ ∧m␈ελv␈↓ ¬C␈εαtak␈α␈es␈↓ ε ␈ελO␈↓ ε:␈εα(␈↓ εF␈εαlog␈↓ εz␈ελf␈↓ π␈εα)␈αλ+␈↓ πK␈ελO␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈εαlog␈↓ λ%␈ελf␈↓ λ6␈εα)␈αλ+␈↓ λv␈ελO␈↓ 	⊂␈εα(␈↓ 	≤␈ελf␈↓ 	.␈εα)␈αλ+␈↓ 	n␈ελO␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελf␈↓ 
%␈εα)␈α
=␈↓ 
i␈ελO␈↓ β␈εα(␈↓ ∂␈ελf␈↓  ␈εα)
␈βπβ␈↓ ↓W␈εk␈↓ αY␈εk␈↓ αg␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β9␈εk␈↓ βH␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧≥␈εk␈↓ ∧,␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧⎇␈εk␈↓ ¬␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπ!␈↓ ↓H␈εαcy␈α␈cles,␈α⊂and␈α∂therefore␈α∂the␈α∂en␈α␈tire␈α⊂calculation␈α∂can␈α∂be␈α∂done␈α∂in␈↓ 	β␈ελs␈↓ 	_␈ελO␈↓ 	2␈εα(␈↓ 	>␈ελf␈↓ 	O␈εα)␈α∂=␈↓ 
≡␈ελO␈↓ 
8␈εα(␈↓ 
D␈ελf␈↓ 
[␈εαlog␈↓ ∂␈ελf␈↓  ␈εα)
␈βπL␈↓ ↓H␈εαcy␈α␈cles␈αas␈αdesired.
␈βπx␈↓ α␈εαThe␈α
reader␈α	will␈α
|nd␈α	it␈α	instructiv␈α␈e␈α
to␈α	study␈α
the␈α	ingenious␈α
method␈α	represen␈α␈ted
␈βλ#␈↓ ↓H␈εαby␈α
(30)␈α
and␈α
(31)␈αv␈α␈ery␈α
carefully.␈αSimilar␈α
techniques␈αare␈α
discussed␈α
in␈α
Section␈α
4.6.3.
␈βλO␈↓ α␈εαSch␈↓ αD␈εα∪␈↓ αD␈εαo␈↓ αV␈εαnhage's␈α	paper␈α	[␈ε∂Computing␈ε∩␈α	1␈εα␈α	(1966),␈α	182↑196]␈α	sho␈α␈ws␈α	that␈α	these␈α	ideas␈αλcan
␈βλp␈↓ 	g␈∧λp	gαA
␈βλq␈↓ 	J␈ε→p
␈βλu␈↓ 	g␈ε¬2␈↓ 	z␈ε¬lg␈↓ 
∃␈εn
␈βλz␈↓ ↓H␈εαbe␈α∂extended␈α∂to␈α∂the␈α∂m␈α␈ultiplication␈α∂of␈↓ ε∨␈ελn␈↓ ε5␈εα-bit␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂using␈↓ λp␈ελr␈↓ 	
␈ε⊗→␈↓ 	8␈εα2␈↓ 
6␈εαmoduli,
␈β	%␈↓ ↓H␈εαobtaining␈α
a␈αmethod␈α
analogous␈αto␈αAlgorithm␈α
C.␈αWe␈α
shall␈αnot␈αdw␈α␈ell␈α
on␈αthe␈α
details
␈β	Q␈↓ ↓H␈εαhere,␈α	since␈α
Algorithm␈α	C␈α	is␈α
always␈α	superior;␈α
in␈α	fact,␈α
an␈α	ev␈α␈en␈α
better␈α	method␈α	is␈α	next
␈β	|␈↓ ↓H␈εαon␈αour␈αagenda.
␈β
@␈↓ ↓H␈ε∩C.␈αUse␈αof␈α|nite␈αFourier␈αtransforms.␈εα␈α↔The␈αcritical␈αproblem␈αin␈αhigh-precision␈αm␈α␈ul-
␈β
l␈↓ ↓H␈εαtiplication␈αis␈αthe␈αdetermination␈αof␈α\con␈α␈v␈α␈olution␈αproducts"␈αsuch␈αas
␈βD␈↓ ∧\␈ελu␈↓ ∧}␈ελv␈↓ ¬$␈εα+␈↓ ¬P␈ελu␈↓ ε≥␈ελv␈↓ εD␈εα+␈↓ εp␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εα+␈↓ πN␈ελu␈↓ πq␈ελv␈↓ λ∞␈εα,
␈βQ␈↓ ∧q␈εr␈↓ ¬∞␈ε¬0␈↓ ¬e␈εr␈↓ ¬r␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε-␈ε¬1␈↓ πb␈ε¬0␈↓ λ␈εr
␈β≤␈↓ ↓H␈εαand␈α
there␈αis␈α
an␈αin␈α␈timate␈αrelation␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈αcon␈α␈v␈α␈olutions␈αand␈α
an␈αimportan␈α␈t␈α
mathe-
␈βG␈↓ ↓H␈εαmatical␈απconcept␈αλcalled␈απ\Fourier␈αλtransformation."␈α
If␈↓ πb␈ελ|␈↓ λβ␈εα=␈↓ λ1␈εαexp␈↓ λi␈εα(2␈↓ 	π␈ελ→␈↓ 	≠␈ελi␈↓ 	)␈εα/␈↓ 	;␈ελK␈↓ 	Y␈εα)␈απis␈αλa␈↓ 
%␈ελK␈↓ 
C␈εαth␈απroot
␈βr␈↓ ↓H␈εαof␈απunity,␈απthe␈απone-dimensional␈απFourier␈απtransform␈απof␈απthe␈απsequence␈απ(␈↓ 	#␈ελu␈↓ 	F␈εα,␈↓ 	V␈ελu␈↓ 	y␈εα,␈↓ 
	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
9␈εα,␈↓ 
I␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β␈␈↓ 	7␈ε¬0␈↓ 	j␈ε¬1␈↓ 
]␈εK␈↓ 
u␈ε→␈␈ε¬1
␈β
≥␈↓ ↓H␈εαis␈αde|ned␈αto␈αbe␈αthe␈αsequence␈α(␈↓ ¬"␈ελu␈↓ ¬#␈εα∂␈↓ ¬F␈εα,␈↓ ¬V␈ελu␈↓ ¬X␈εα∂␈↓ ¬z␈εα,␈↓ ε
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈ελu␈↓ εL␈εα∂␈↓ π≡␈εα),␈αwhere
␈β
+␈↓ ¬7␈ε¬0␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ ε[␈εK␈↓ εs␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β
R␈↓ ¬≠␈ε↓X
␈β
o␈↓ επ␈εs␈↓ ε∀␈εt
␈β
u␈↓ ∧&␈ελu␈↓ ∧(␈εα∂␈↓ ∧R␈εα=␈↓ ¬p␈ελ|␈↓ ε≡␈ελu␈↓ ε=␈εα,␈↓ π∃0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π←␈ελs␈↓ πx␈εα<␈↓ λ&␈ελK␈↓ λD␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β∞β␈↓ ∧;␈εs␈↓ ε3␈εt
␈β∞'␈↓ ¬␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬+␈εt␈↓ ¬6␈ε¬<␈↓ ¬R␈εK
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαLetting␈α(␈↓ αT␈εα∂␈↓ αT␈ελv␈↓ αu␈εα,␈↓ β¬␈εα∂␈↓ β¬␈ελv␈↓ β&␈εα,␈↓ β6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βf␈εα,␈↓ βv␈εα∂␈↓ βv␈ελv␈↓ ∧L␈εα)␈αbe␈αde|ned␈αin␈αthe␈αsame␈αway,␈αas␈αthe␈αFourier␈αtransform
␈β∞y␈↓ αf␈ε¬0␈↓ β_␈ε¬1␈↓ ∧	␈εK␈↓ ∧!␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαof␈α
(␈↓ ↓␈␈ελv␈↓ α≡␈εα,␈↓ α.␈ελv␈↓ αL␈εα,␈↓ α\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β␈εα,␈↓ β≤␈ελv␈↓ βo␈εα),␈α∞it␈α∞is␈α
not␈α∞di}cult␈α∞to␈α∞see␈α
that␈α∞(␈↓ πk␈ελu␈↓ πm␈εα∂␈↓ λ∂␈ελv␈↓ λ⊂␈εα∂␈↓ λ0␈εα,␈↓ λ@␈ελu␈↓ λB␈εα∂␈↓ λd␈ελv␈↓ λe␈εα∂␈↓ 	ε␈εα,␈↓ 	⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	F␈εα,␈↓ 	V␈ελu␈↓ 	W␈εα∂␈↓ 
*␈εα∂␈↓ 
*␈ελv␈↓ 
{␈εα)␈α
is
␈β∂$␈↓ α∂␈ε¬0␈↓ α=␈ε¬1␈↓ β,␈εK␈↓ βC␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ↓␈ε¬0␈↓ λ"␈ε¬0␈↓ λV␈ε¬1␈↓ λw␈ε¬1␈↓ 	f␈εK␈↓ 	}␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
8␈εK␈↓ 
O␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαthe␈αtransform␈αof␈α(␈↓ βb␈ελw␈↓ ∧λ␈εα,␈↓ ∧_␈ελw␈↓ ∧>␈εα,␈↓ ∧N␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧}␈εα,␈↓ ¬∞␈ελw␈↓ ¬i␈εα),␈αwhere
␈β∂P␈↓ βy␈ε¬0␈↓ ∧0␈ε¬1␈↓ ¬&␈εK␈↓ ¬>␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂∃␈↓ α0␈ελw␈↓ α←␈εα=␈↓ β
␈ελu␈↓ β/␈ελv␈↓ βU␈εα+␈↓ ∧↓␈ελu␈↓ ∧N␈ελv␈↓ ∧t␈εα+␈↓ ¬ ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬R␈εα+␈↓ ¬}␈ελu␈↓ ε!␈ελv␈↓ εF␈εα+␈↓ εr␈ελu␈↓ πJ␈ελv␈↓ λ~␈εα+␈↓ λF␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λx␈εα+␈↓ 	$␈ελu␈↓ 	q␈ελv
␈β⊂"␈↓ αH␈εr␈↓ β!␈εr␈↓ β?␈ε¬0␈↓ ∧⊗␈εr␈↓ ∧#␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧↑␈ε¬1␈↓ ε∪␈ε¬0␈↓ ε1␈εr␈↓ ππ␈εK␈↓ π∨␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πZ␈εr␈↓ πg␈ε¬+1␈↓ 	9␈εr␈↓ 	F␈ε¬+1␈↓ 
↓␈εK␈↓ 
→␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂;␈↓ βn␈ε↓X
␈β⊂↑␈↓ α←␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬)␈ελv␈↓ ¬F␈εα.
␈β⊂k␈↓ ¬≥␈εi␈↓ ¬9␈εj
␈β⊃∂␈↓ β
␈εi␈↓ β_␈ε¬+␈↓ β5␈εj␈↓ βB␈ε→⊃␈↓ β←␈εr␈↓ βq␈ε¬(modulo␈↓ ∧a␈εK␈↓ ∧y␈ε¬)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα703
␈βα%␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α3␈ελK␈↓ α←␈ε⊗∃␈εα␈α∂2␈↓ β$␈ελn␈↓ βD␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∂and␈↓ ∧\␈ελu␈↓ ¬⊃␈εα=␈↓ ¬D␈ελu␈↓ ε%␈εα=␈↓ εX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π⊃␈εα=␈↓ πD␈ελu␈↓ λ*␈εα=␈↓ λ]␈ελv␈↓ 	∞␈εα=␈↓ 	A␈ελv␈↓ 
≥␈εα=␈↓ 
P␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα=
␈βα2␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬Y␈εn␈↓ ¬k␈ε¬+1␈↓ πX␈εK␈↓ πp␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λm␈εn␈↓ 	Q␈εn␈↓ 	b␈ε¬+1
␈βαP␈↓ ↓H␈ελv␈↓ α*␈εα=␈α⊂0,␈α⊃the␈↓ βL␈ελw␈↓ βg␈εα's␈α∂are␈α⊂just␈α∂what␈α⊂w␈α␈e␈α∂need␈α⊂for␈α∂m␈α␈ultiplication,␈α⊂since␈α⊂the␈α∂terms
␈βα↑␈↓ ↓W␈εK␈↓ ↓o␈ε→␈␈ε¬1
␈βα{␈↓ ↓H␈ελu␈↓ α∨␈ελv␈↓ αo␈εα+␈↓ β→␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βJ␈εα+␈↓ βu␈ελu␈↓ ∧B␈ελv␈↓ ¬ ␈εαvanish␈αwhen␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π9␈ελr␈↓ πS␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ λ∪␈ελn␈↓ λ/␈ε⊗␈␈εα␈απ2.␈αIn␈αother␈αw␈α␈ords,␈ε∂␈αthe
␈ββ	␈↓ ↓\␈εK␈↓ ↓t␈ε→␈␈ε¬1␈↓ α/␈εr␈↓ α<␈ε¬+1␈↓ ∧
␈εr␈↓ ∧↔␈ε¬+1␈↓ ∧R␈εK␈↓ ∧j␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ'␈↓ ↓H␈ε∂transform␈α∞of␈α∂a␈α∞con␈α␈v␈α␈olution␈α∞product␈α∂is␈α∞the␈α∂ordinary␈α∞product␈α∂of␈α∞the␈α∞transforms.
␈ββ2␈↓ 	G␈ε↓␈␈↓ 
C␈ε↓↓
␈ββR␈↓ ↓H␈εαThis␈αidea␈αis␈αactually␈αa␈αspecial␈αcase␈αof␈αToom's␈αuse␈αof␈αpolynomials␈↓ 	U␈εαcf.␈α(10)␈↓ 
Q␈εα,␈αwith
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓f␈εαreplaced␈αby␈αroots␈αof␈αunity.
␈β∧+␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελK␈↓ αY␈εαis␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2,␈αthe␈α|nite␈αFourier␈αtransform␈α(32)␈αcan␈αbe␈αobtained␈αquite
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαrapidly␈α∞when␈α∞the␈α∂computations␈α∞are␈α∞arranged␈α∂in␈α∞a␈α∞certain␈α∂way,␈α∞and␈α∂so␈α∞can␈α∞the
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈erse␈αtransform␈α
(determining␈α
the␈↓ ¬z␈ελw␈↓ ε∃␈εα's␈α
from␈α
the␈↓ πO␈ελw␈↓ πT␈εα∂␈↓ πj␈εα's).␈α∞This␈α
property␈α
of␈αFourier
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαtransforms␈α	was␈α	exploited␈α	by␈α	V.␈α
Strassen␈α	in␈α	1968,␈α
who␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	m␈α␈ultiply
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαlarge␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αfaster␈αthan␈αwas␈αpossible␈αunder␈α
all␈αpreviously␈αkno␈α␈wn␈αschemes.␈αHe
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαand␈αA.␈α
Sch␈↓ αw␈εα∪␈↓ αw␈εαo␈↓ β	␈εαnhage␈αlater␈α
re|ned␈αthe␈α
method␈αand␈αpublished␈α
impro␈α␈v␈α␈ed␈αprocedures
␈βε.␈↓ ↓H␈εαin␈ε∂␈α
Computing␈ε∩␈α
7␈εα␈α∞(1971),␈α
281↑292.␈α⊂In␈α∞order␈α
to␈α
understand␈α
their␈α∞approach␈α
to␈α
the
␈βεY␈↓ ↓H␈εαproblem,␈αlet␈αus␈α|rst␈αtak␈α␈e␈αa␈αlook␈αat␈αthe␈αmechanism␈αof␈αfast␈αFourier␈αtransforms.
␈βπβ␈↓ ¬1␈εk
␈βπλ␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈α
a␈α
sequence␈α
of␈↓ ∧I␈ελK␈↓ ∧q␈εα=␈↓ ¬∨␈εα2␈↓ ¬I␈εαcomplex␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
(␈↓ πo␈ελu␈↓ λ∩␈εα,␈↓ λ"␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λR␈εα,␈↓ λb␈ελu␈↓ 	9␈εα),␈αand␈α
giv␈α␈en␈α	the
␈βπ∃␈↓ λβ␈ε¬0␈↓ λv␈εK␈↓ 	∞␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαcomplex␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈βπg␈↓ ¬4␈ελ|␈↓ ¬U␈εα=␈↓ εβ␈εαexp␈↓ ε;␈εα(2␈↓ εY␈ελ→␈↓ εm␈ελi␈↓ ε{␈εα/␈↓ π
␈ελK␈↓ π+␈εα),
␈βλ4␈↓ ↓H␈εαthe␈α	sequence␈α
(␈↓ β!␈ελu␈↓ β#␈εα∂␈↓ βD␈εα,␈↓ βT␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧∀␈ελu␈↓ ∧⊗␈εα∂␈↓ ∧l␈εα)␈α
de|ned␈α
in␈α	(32)␈α
can␈α
be␈α
calculated␈α
rapidly␈α
by␈α	carrying
␈βλB␈↓ β6␈ε¬0␈↓ ∧)␈εK␈↓ ∧A␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ←␈↓ ↓H␈εαout␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αscheme.␈α↔(In␈αthese␈αform␈α␈ulas␈αthe␈αparameters␈↓ 	
␈ελs␈↓ 	.␈εαand␈↓ 	t␈ελt␈↓ 
↔␈εαare␈αeither
␈βλm␈↓ 	⊗␈εj␈↓ 	␈␈εj
␈β	¬␈↓ ε3␈εk
␈β	␈↓ ↓H␈εα0␈αor␈α1,␈αso␈αthat␈αeach␈α\pass"␈αrepresen␈α␈ts␈↓ ε!␈εα2␈↓ εM␈εαcomputations.)
␈β	[␈↓ β'␈ε¬[0]
␈β	`␈↓ ↓H␈εαPass␈α0.␈α→Let␈↓ β∂␈ελA␈↓ βE␈εα(␈↓ βQ␈ελt␈↓ ∧⊗␈εα,␈↓ ∧&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εα,␈↓ ∧f␈ελt␈↓ ∧␈␈εα)␈α
=␈↓ ¬C␈ελu␈↓ ¬b␈εα,␈αwhere␈↓ ε`␈ελt␈↓ εw␈εα=␈α
(␈↓ π1␈ελt␈↓ π|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈ελt␈↓ λE␈εα)␈↓ λ←␈εα.
␈β	m␈↓ β\␈εk␈↓ βk␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧q␈ε¬0␈↓ ¬X␈εt␈↓ π<␈εk␈↓ πJ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ6␈ε¬0␈↓ λQ␈ε¬2
␈β
≥␈↓ β#␈ε¬[1]
␈β
"␈↓ ↓H␈εαPass␈α1.␈α→Set␈↓ β␈ελA␈↓ βA␈εα(␈↓ βM␈ελs␈↓ ∧∪␈εα,␈↓ ∧#␈ελt␈↓ ∧g␈εα,␈↓ ∧w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εα,␈↓ ¬7␈ελt␈↓ ¬Q␈εα)␈ε⊗␈α
 
␈β
/␈↓ βY␈εk␈↓ βh␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧.␈εk␈↓ ∧<␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ¬B␈ε¬0
␈β
O␈↓ ¬
␈ε¬[0␈α↓]␈↓ π↑␈ε¬(␈↓ πh␈εs␈↓ λ!␈ε¬0␈↓ λ/␈ε¬...␈↓ λG␈ε¬0␈↓ λU␈ε¬)␈↓ 	≤␈ε¬[0␈α↓]
␈β
T␈↓ ∧u␈ελA␈↓ ¬,␈εα(0,␈↓ ¬Z␈ελt␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈εα,␈↓ εn␈ελt␈↓ ππ␈εα)␈αλ+␈↓ πG␈ελ|␈↓ λr␈ε⊗↓␈↓ 	∧␈ελA␈↓ 	;␈εα(1,␈↓ 	i␈ελt␈↓ 
-␈εα,␈↓ 
=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
m␈εα,␈↓ 
⎇␈ελt␈↓ ⊗␈εα).
␈β
X␈↓ πr␈ε
k␈↓ π␈␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λ←␈επ2
␈β
b␈↓ ¬e␈εk␈↓ ¬s␈ε→␈␈ε¬2␈↓ εy␈ε¬0␈↓ 	t␈εk␈↓ 
α␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬0
␈β⊃␈↓ β#␈ε¬[2]
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαPass␈α2.␈α→Set␈↓ β␈ελA␈↓ βA␈εα(␈↓ βM␈ελs␈↓ ∧∪␈εα,␈↓ ∧#␈ελs␈↓ ∧i␈εα,␈↓ ∧y␈ελt␈↓ ¬=␈εα,␈↓ ¬M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⎇␈εα,␈↓ ε
␈ελt␈↓ ε&␈εα)␈ε⊗␈α
 
␈β$␈↓ βY␈εk␈↓ βh␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧/␈εk␈↓ ∧>␈ε→␈␈ε¬␈α␈2␈↓ ¬β␈εk␈↓ ¬∩␈ε→␈␈ε¬3␈↓ ε_␈ε¬0
␈βC␈↓ β)␈ε¬[1␈α↓]␈↓ εP␈ε¬(␈↓ εZ␈εs␈↓ π∩␈εs␈↓ πK␈ε¬0␈↓ πY␈ε¬...␈↓ πq␈ε¬0␈↓ λ␈ε¬)␈↓ λG␈ε¬[1]
␈βI␈↓ β⊃␈ελA␈↓ βH␈εα(␈↓ βT␈ελs␈↓ ∧→␈εα,␈αε0,␈↓ ∧K␈ελt␈↓ ¬⊂␈εα,␈↓ ¬ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ¬`␈ελt␈↓ ¬y␈εα)␈αλ+␈↓ ε9␈ελ|␈↓ λ≥␈ε⊗↓␈↓ λ/␈ελA␈↓ λe␈εα(␈↓ λq␈ελs␈↓ 	7␈εα,␈αε1,␈↓ 	i␈ελt␈↓ 
-␈εα,␈↓ 
=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
m␈εα,␈↓ 
⎇␈ελt␈↓ ⊗␈εα).
␈βL␈↓ εd␈ε
k␈↓ εq␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ π≥␈ε
k␈↓ π)␈ε≠␈␈επ1␈↓ λ	␈επ2
␈βV␈↓ β`␈εk␈↓ βn␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧V␈εk␈↓ ∧e␈ε→␈␈ε¬␈α␈3␈↓ ¬k␈ε¬0␈↓ λ⎇␈εk␈↓ 	␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	t␈εk␈↓ 
α␈ε→␈␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬0
␈β
␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.
␈βG␈↓ β#␈ε¬[␈↓ β+␈εk␈↓ β9␈ε¬]
␈βL␈↓ ↓H␈εαPass␈↓ α_␈ελk␈↓ α)␈εα.␈α~Set␈↓ β␈ελA␈↓ βA␈εα(␈↓ βM␈ελs␈↓ ∧∪␈εα,␈↓ ∧#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εα,␈↓ ∧c␈ελs␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈ελs␈↓ ¬(␈εα)␈ε⊗␈α
 
␈βZ␈↓ βY␈εk␈↓ βh␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧o␈ε¬1␈↓ ¬→␈ε¬0
␈βy␈↓ ∧#␈ε¬[␈↓ ∧+␈εk␈↓ ∧:␈ε→␈␈ε¬1]␈↓ π"␈ε¬(␈↓ π,␈εs␈↓ πA␈εs␈↓ πW␈ε¬...␈↓ πo␈εs␈↓ λ(␈ε¬)␈↓ λo␈ε¬[␈↓ λw␈εk␈↓ 	¬␈ε→␈␈ε¬1]
␈β␈␈↓ ∧␈ελA␈↓ ∧m␈εα(␈↓ ∧y␈ελs␈↓ ¬?␈εα,␈↓ ¬O␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈␈εα,␈↓ ε∂␈ελs␈↓ ε)␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ π␈ελ|␈↓ λE␈ε⊗↓␈↓ λW␈ελA␈↓ 	8␈εα(␈↓ 	D␈ελs␈↓ 

␈εα,␈↓ 
~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
J␈εα,␈↓ 
Z␈ελs␈↓ 
t␈εα,␈αε1).
␈β
α␈↓ π6␈επ0␈↓ πL␈επ1␈↓ πy␈ε
k␈↓ λε␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λ1␈επ2
␈β
␈↓ ¬¬␈εk␈↓ ¬∀␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ 	P␈εk␈↓ 	←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
f␈ε¬1
␈β
T␈↓ ↓H␈εαIt␈αis␈αfairly␈αeasy␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αby␈αinduction␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∞-␈↓ α∧␈ε¬[␈↓ α␈εj␈↓ α→␈ε¬]
␈β∞3␈↓ ↓l␈ελA␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελs␈↓ αs␈εα,␈↓ ββ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β3␈εα,␈↓ βC␈ελs␈↓ ∧π␈εα,␈↓ ∧↔␈ελt␈↓ ¬ε␈εα,␈↓ ¬⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬F␈εα,␈↓ ¬V␈ελt␈↓ ¬o␈εα)
␈β∞A␈↓ α9␈εk␈↓ αG␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βO␈εk␈↓ β]␈ε→␈␈↓ βz␈εj␈↓ ∧"␈εk␈↓ ∧0␈ε→␈␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧Z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬`␈ε¬0
␈β∞Y␈↓ ¬H␈ε↓X
␈β∞w␈↓ εv␈ε¬(␈↓ π␈εs␈↓ π∃␈εs␈↓ π+␈ε¬...␈↓ πC␈εs␈↓ π|␈ε¬)␈↓ λ⊃␈ε→↓␈ε¬(␈↓ λ"␈εt␈↓ λZ␈ε¬...␈↓ λr␈εt␈↓ 	*␈ε¬0␈↓ 	8␈ε¬...␈↓ 	P␈ε¬0␈↓ 	←␈ε¬)
␈β∞⎇␈↓ ∧=␈εα=␈↓ ε←␈ελ|␈↓ 	y␈ελu␈↓ 
_␈εα,␈↓ 
p(33)
␈β∞␈␈↓ π
␈επ0␈↓ π ␈επ1␈↓ πN␈ε
k␈↓ πZ␈ε≠␈␈επ1␈↓ λ¬␈επ2␈↓ λ,␈ε
k␈↓ λ8␈ε≠␈␈επ1␈↓ λ{␈ε
k␈↓ 	λ␈ε≠␈␈↓ 	≡␈ε
j␈↓ 	h␈επ2
␈β∂
␈↓ 
∞␈εt
␈β∂.␈↓ ∧k␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬↔␈εt␈↓ ¬N␈ε¬,␈↓ ¬V␈ε¬...␈↓ ¬n␈ε¬,␈↓ ¬v␈εt␈↓ ε.␈ε→∀␈ε¬1
␈β∂7␈↓ ¬ ␈ε
k␈↓ ¬,␈ε≠␈␈επ1␈↓ ε␈ε
k␈↓ ε␈ε≠␈␈↓ ε#␈ε
j
␈β∂n␈↓ ↓H␈εαso␈αthat
␈β⊂≤␈↓ β≥␈ε¬[␈↓ β%␈εk␈↓ β3␈ε¬]
␈β⊂"␈↓ β¬␈ελA␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ελs␈↓ ∧
␈εα,␈↓ ∧≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧]␈ελs␈↓ ∧w␈εα,␈↓ ¬π␈ελs␈↓ ¬"␈εα)␈α
=␈↓ ¬f␈ελu␈↓ ¬g␈εα∂␈↓ ελ␈εα,␈↓ ε`␈εαwhere␈↓ πH␈ελs␈↓ πa␈εα=␈α
(␈↓ λ≠␈ελs␈↓ λ5␈ελs␈↓ λU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	¬␈ελs␈↓ 	K␈εα)␈↓ 	f␈εα.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β⊂/␈↓ βS␈εk␈↓ βb␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧i␈ε¬1␈↓ ¬∪␈ε¬0␈↓ ¬{␈εs␈↓ λ'␈ε¬0␈↓ λA␈ε¬1␈↓ 	⊃␈εk␈↓ 	 ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	W␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εα(Note␈α⊂the␈α⊃rev␈α␈ersed␈α⊃order␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃binary␈α⊃digits␈α⊂in␈↓ πf␈ελs␈↓ πu␈εα.␈α≠For␈α⊃further␈α⊃discussion␈α⊂of
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαtransforms␈αsuch␈αas␈αthis,␈αsee␈αSection␈α4.6.4.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα704␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα&␈↓ α␈εαTo␈α∪get␈α∩the␈α∪in␈α␈v␈α␈erse␈α∩Fourier␈α∪transform␈α∩(␈↓ π∂␈ελu␈↓ π2␈εα,␈↓ πB␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈εα,␈↓ λα␈ελu␈↓ λZ␈εα)␈α∪from␈α∩the␈α∪values␈α∩of
␈βα4␈↓ π$␈ε¬0␈↓ λ↔␈εK␈↓ λ/␈ε→␈␈ε¬1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓U␈εα∂␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α7␈εα,␈↓ αG␈ελu␈↓ αH␈εα∂␈↓ β≡␈εα),␈αw␈α␈e␈αmay␈αnote␈αthat␈αthe␈α\double␈αtransform"␈αis
␈βα←␈↓ ↓h␈ε¬0␈↓ α[␈εK␈↓ αs␈ε→␈␈ε¬1
␈βα}␈↓ αc␈ε↓X␈↓ ∧h␈ε↓X
␈ββ_␈↓ ↓o␈εα∂
␈ββ≠␈↓ βP␈εr␈↓ β]␈εs␈↓ ¬↑␈εr␈↓ ¬l␈εs␈↓ ε∂␈εs␈↓ ε≤␈εt
␈ββ!␈↓ ↓l␈ελu␈↓ ↓o␈εα∂␈↓ α→␈εα=␈↓ β9␈ελ|␈↓ βj␈ελu␈↓ βk␈εα∂␈↓ ∧∃␈εα=␈↓ ¬G␈ελ|␈↓ ¬x␈ελ|␈↓ ε&␈ελu
␈ββ.␈↓ α↓␈εr␈↓ β}␈εs␈↓ ε;␈εt
␈ββR␈↓ αG␈ε¬0␈ε→∀␈↓ αr␈εs␈↓ α}␈ε¬<␈↓ β≠␈εK␈↓ ∧C␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ∧n␈εs␈↓ ∧z␈ε¬,␈↓ ¬α␈εt␈↓ ¬
␈ε¬<␈↓ ¬*␈εK
␈ββd␈↓ ¬p␈ε↓X␈↓ π"␈ε↓X
␈ββm␈↓ εp␈ε↓∩␈↓ λd␈ε↓∪
␈β∧↓␈↓ λ⊂␈εs␈↓ λ≤␈ε¬(␈↓ λ&␈εt␈↓ λ0␈ε¬+␈↓ λM␈εr␈↓ λZ␈ε¬)
␈β∧π␈↓ ¬'␈εα=␈↓ εE␈ελu␈↓ πy␈ελ|␈↓ 	∧␈εα=␈↓ 	2␈ελK␈↓ 	P␈ελu␈↓ 
}␈εα,
␈β∧∀␈↓ εZ␈εt
␈β∧∃␈↓ 	i␈ε¬(␈ε→␈␈↓ 
⊂␈εr␈↓ 
≥␈ε¬)␈↓ 
+␈ε¬mo␈α↓d␈↓ 
g␈εK
␈β∧8␈↓ ¬U␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε␈εt␈↓ ε
␈ε¬<␈↓ ε'␈εK␈↓ πε␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ π1␈εs␈↓ π>␈ε¬<␈↓ π[␈εK
␈β∧r␈↓ ∧q␈ε↓P
␈β¬λ␈↓ ε ␈εs␈↓ ε,␈εj
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εαsince␈α∂the␈α⊂geometric␈α⊂series␈↓ ε	␈ελ|␈↓ εI␈εαsums␈α⊂to␈α⊂zero␈α∂unless␈↓ 	∀␈ελj␈↓ 	4␈εαis␈α⊂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α∂of
␈β¬ ␈↓ ¬↔␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬B␈εs␈↓ ¬N␈ε¬<␈↓ ¬k␈εK
␈β¬9␈↓ ↓H␈ελK␈↓ ↓f␈εα.␈α∃Therefore␈α∂the␈α∂in␈α␈v␈α␈erse␈α∂transform␈α∂can␈α∂be␈α∂computed␈α∞in␈α∂the␈α∂same␈α∂way␈α∂as␈α∂the
␈β¬d␈↓ ↓H␈εαtransform␈αitself,␈αex␈α␈cept␈αthat␈αthe␈α|nal␈αresults␈αm␈α␈ust␈αbe␈αdivided␈αby␈↓ 	F␈ελK␈↓ 	p␈εαand␈αsh␈α␈u␈␈ed
␈βε∂␈↓ ↓H␈εαsligh␈α␈tly.
␈βε:␈↓ α␈εαApplying␈α
this␈α
to␈α
the␈αproblem␈α
of␈α
in␈α␈teger␈α
m␈α␈ultiplication,␈α
suppose␈α
w␈α␈e␈α
wish␈αto
␈βεf␈↓ ↓H␈εαcompute␈αthe␈αproduct␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈↓ ¬␈ελn␈↓ ¬"␈εα-bit␈αin␈α␈tegers␈↓ εk␈ελu␈↓ π
␈εαand␈↓ πS␈ελv␈↓ πf␈εα.␈α
As␈αin␈αAlgorithm␈αC␈αw␈α␈e␈αshall
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ork␈αwith␈αgroups␈αof␈αbits;␈αlet
␈βπV␈↓ ∧↑␈εk␈↓ π-␈εk␈↓ λu␈εl
␈βπ\␈↓ βm␈εα2␈↓ β␈␈ελn␈↓ ∧≡␈ε⊗∀␈↓ ∧L␈εα2␈↓ ∧s␈ελl␈↓ ¬π␈εα<␈α
4␈↓ ¬G␈ελn␈↓ ¬]␈εα,␈↓ ε5,␈↓ εE␈ελK␈↓ εm␈εα=␈↓ π≠␈εα2␈↓ π;␈εα,␈↓ λ∪␈ελL␈↓ λ5␈εα=␈↓ λc␈εα2␈↓ λ⎇␈εα,␈↓ 
p␈εα(35)
␈βλ(␈↓ ↓H␈εαand␈αwrite
␈βλS␈↓ β:␈ελu␈↓ βZ␈εα=␈α
(␈↓ ∧∀␈ελU␈↓ ∧t␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬$␈ελU␈↓ ¬J␈ελU␈↓ ¬o␈εα)␈↓ ε∂␈εα,␈↓ εg␈ελv␈↓ π∧␈εα=␈α
(␈↓ π>␈ελV␈↓ λ≠␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λK␈ελV␈↓ λm␈ελV␈↓ 	⊂␈εα)␈↓ 	0␈εα,␈↓ 
p␈εα(36)
␈βλa␈↓ ∧+␈εK␈↓ ∧C␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬;␈ε¬1␈↓ ¬a␈ε¬0␈↓ ¬{␈εL␈↓ πR␈εK␈↓ πj␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ←␈ε¬1␈↓ 	↓␈ε¬0␈↓ 	≤␈εL
␈β	∪␈↓ ↓H␈εαregarding␈↓ αi␈ελu␈↓ β␈εαand␈↓ βR␈ελv␈↓ βr␈εαas␈↓ ∧≡␈ελK␈↓ ∧<␈εα-place␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α
radix␈↓ π@␈ελL␈↓ πe␈εαso␈α
that␈α
each␈αdigit␈↓ 
λ␈ελU␈↓ 
9␈εαor␈↓ 
f␈ελV␈↓ ∀␈εαis
␈β	 ␈↓ 
∨␈εj␈↓ 
z␈εj
␈β	>␈↓ ↓H␈εαan␈↓ ↓z␈ελl␈↓ α∧␈εα-bit␈α
in␈α␈teger.␈α∞Actually␈αthe␈α
leading␈α
digits␈↓ ε|␈ελU␈↓ π-␈εαand␈↓ πt␈ελV␈↓ λ"␈εαare␈αzero␈α
for␈αall␈↓ 
⊗␈ελj␈↓ 
1␈ε⊗∃␈↓ 
`␈ελK␈↓ 
}␈εα/2,
␈β	L␈↓ π∪␈εj␈↓ λλ␈εj
␈β	d␈↓ α`␈εk␈↓ αn␈ε→␈␈ε¬1
␈β	i␈↓ ↓H␈εαbecause␈↓ αN␈εα2␈↓ β→␈ελl␈↓ β1␈ε⊗∃␈↓ βb␈ελn␈↓ βw␈εα.␈α∩We␈α∞will␈α∞select␈α∞appropriate␈α
values␈α∞for␈↓ λl␈ελk␈↓ 	␈εαand␈↓ 	T␈ελl␈↓ 	l␈εαlater;␈α∂at␈α
the
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαmomen␈α␈t␈αour␈αgoal␈αis␈αto␈αsee␈αwhat␈αhappens␈αin␈αgeneral,␈αso␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αchoose␈↓ 
U␈ελk␈↓ 
r␈εαand
␈β
@␈↓ ↓H␈ελl␈↓ ↓↑␈εαin␈α␈telligen␈α␈tly␈αwhen␈αall␈αthe␈αfacts␈αare␈αbefore␈αus.
␈β
k␈↓ α␈εαThe␈απnext␈απstep␈απof␈αλthe␈απm␈α␈ultiplication␈απprocedure␈απis␈απto␈απ|nd␈απthe␈απFourier␈απtransforms
␈β⊗␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓U␈εα∂␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α7␈εα,␈↓ αG␈ελu␈↓ αH␈εα∂␈↓ β≡␈εα)␈α
and␈α(␈↓ ∧∧␈εα∂␈↓ ∧¬␈ελv␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧c␈εα,␈↓ ∧r␈εα∂␈↓ ∧s␈ελv␈↓ ¬F␈εα)␈α
of␈α
the␈α
respectiv␈α␈e␈α
sequences␈α(␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	5␈εα,␈↓ 	E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	u␈εα,␈↓ 
¬␈ελu␈↓ 
\␈εα)␈α
and
␈β$␈↓ ↓h␈ε¬0␈↓ α[␈εK␈↓ αs␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧∀␈ε¬0␈↓ ¬β␈εK␈↓ ¬≠␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	&␈ε¬0␈↓ 
→␈εK␈↓ 
1␈ε→␈␈ε¬1
␈βA␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελv␈↓ ↓r␈εα,␈↓ αα␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α2␈εα,␈↓ αB␈ελv␈↓ β∃␈εα),␈αwhere␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈βO␈↓ ↓c␈ε¬0␈↓ αR␈εK␈↓ αj␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπ␈↓ ¬Y␈εk␈↓ ¬h␈ε¬+␈↓ ε¬␈εl␈↓ πz␈εk␈↓ λλ␈ε¬+␈↓ λ%␈εl
␈β
␈↓ ∧=␈ελu␈↓ ∧f␈εα=␈↓ ¬∀␈ελU␈↓ ¬5␈εα/␈↓ ¬G␈εα2␈↓ ε
␈εα,␈↓ εe␈ελv␈↓ π	␈εα=␈↓ π7␈ελV␈↓ πV␈εα/␈↓ πh␈εα2␈↓ λ-␈εα.␈↓ 
p␈εα(37)
␈β≠␈↓ ∧Q␈εt␈↓ ¬+␈εt␈↓ εu␈εt␈↓ πK␈εt
␈βY␈↓ ↓H␈εαThis␈αscaling␈αis␈αdone␈αfor␈αcon␈α␈v␈α␈enience␈αso␈αthat␈αthe␈α
absolute␈αvalues␈ε⊗␈αj␈↓ 	G␈ελu␈↓ 	f␈ε⊗j␈εα␈αand␈ε⊗␈αj␈↓ 
L␈ελv␈↓ 
f␈ε⊗j␈εα␈αare
␈βf␈↓ 	[␈εt␈↓ 
\␈εt
␈β␈␈↓ αp␈ε→␈␈↓ β␈εk
␈β
∧␈↓ ↓H␈εαless␈αthan␈↓ α↑␈εα2␈↓ β≠␈εα,␈αensuring␈αthat␈ε⊗␈αj␈↓ ¬→␈ελu␈↓ ¬~␈εα∂␈↓ ¬:␈ε⊗j␈εα␈αand␈ε⊗␈αj␈↓ ε∨␈εα∂␈↓ ε ␈ελv␈↓ ε<␈ε⊗j␈εα␈αwill␈αbe␈αless␈αthan␈α1␈αfor␈αall␈↓ 	d␈ελs␈↓ 	s␈εα.
␈β
∩␈↓ ¬.␈εs␈↓ ε0␈εs
␈β
/␈↓ α␈εαAn␈α
obvious␈α
problem␈α
arises␈α
here,␈α
since␈α
the␈α
complex␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	?␈ελ|␈↓ 	c␈εαcan't␈α
be␈αrep-
␈β
[␈↓ ↓H␈εαresen␈α␈ted␈α∂exactly␈α⊂in␈α⊂binary␈α∂notation.␈α_Ho␈α␈w␈α∂are␈α⊂w␈α␈e␈α⊂going␈α∂to␈α⊂compute␈α⊂a␈α∂reliable
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εαFourier␈α∞transform?␈α⊃By␈α∞a␈α∞strok␈α␈e␈α∞of␈α∞good␈α∞luck,␈α∞it␈α∞turns␈α∞out␈α∞that␈α∞ev␈α␈erything␈α
will
␈β∞1␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ork␈αproperly␈αif␈αw␈α␈e␈αdo␈αthe␈αcalculations␈αwith␈αonly␈αa␈αmodest␈αamoun␈α␈t␈αof␈αprecision.
␈β∞\␈↓ ↓H␈εαFor␈α∞the␈α∞momen␈α␈t␈α∞let␈α∞us␈α∞bypass␈α∂this␈α∞question␈α∞and␈α∞assume␈α∞that␈α∞in|nite-precision
␈β∂π␈↓ ↓H␈εαcalculations␈α∞are␈α
being␈α∞performed;␈α∂w␈α␈e␈α∞shall␈α∞analyze␈α∞later␈α∞ho␈α␈w␈α∞m␈α␈uch␈α∞accuracy␈α
is
␈β∂3␈↓ ↓H␈εαactually␈αneeded.
␈β∂↑␈↓ α␈εαOnce␈αthe␈↓ β'␈ελu␈↓ β(␈εα∂␈↓ βT␈εαand␈↓ ∧→␈εα∂␈↓ ∧~␈ελv␈↓ ∧C␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αdetermined,␈α
w␈α␈e␈αlet␈↓ λ≤␈ελw␈↓ λ∨␈εα∂␈↓ λK␈εα=␈↓ λz␈ελu␈↓ λ{␈εα∂␈↓ 	→␈εα∂␈↓ 	≠␈ελv␈↓ 	C␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
F␈ελs␈↓ 
`␈εα<␈↓ ∞␈ελK
␈β∂k␈↓ β;␈εs␈↓ ∧*␈εs␈↓ λ4␈εs␈↓ 	∞␈εs␈↓ 	*␈εs
␈β⊂	␈↓ ↓H␈εαand␈αλdetermine␈αλthe␈α	in␈α␈v␈α␈erse␈αλFourier␈αλtransform␈α	(␈↓ πλ␈ελw␈↓ π.␈εα,␈↓ π>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈ελw␈↓ λY␈εα).␈αAs␈αλexplained␈αλabo␈α␈v␈α␈e,
␈β⊂⊗␈↓ π ␈ε¬0␈↓ λ⊗␈εK␈↓ λ.␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂4␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αno␈α␈w␈αhav␈α␈e
␈β⊂<␈↓ ∧⎇␈ε↓X␈↓ εX␈ε↓X
␈β⊂Y␈↓ λ∂␈ε¬2␈↓ λ≡␈εk␈↓ λ,␈ε¬+2␈↓ λX␈εl
␈β⊂←␈↓ ∧
␈ελw␈↓ ∧9␈εα=␈↓ ¬M␈ελu␈↓ ¬m␈ελv␈↓ ε∀␈εα=␈↓ π(␈ελU␈↓ πJ␈ελV␈↓ πk␈εα/␈↓ π⎇␈εα2␈↓ λ`␈εα,
␈β⊂m␈↓ ∧"␈εr␈↓ ¬b␈εi␈↓ ¬⎇␈εj␈↓ π?␈εi␈↓ π↑␈εj
␈β⊃⊃␈↓ ∧g␈εi␈↓ ∧s␈ε¬+␈↓ ¬⊂␈εj␈↓ ¬≥␈ε¬=␈↓ ¬:␈εr␈↓ εB␈εi␈↓ εN␈ε¬+␈↓ εj␈εj␈↓ εx␈ε¬=␈↓ π∀␈εr
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα705
␈βα#␈↓ ∧,␈ε¬2␈↓ ∧:␈εk␈↓ ∧I␈ε¬+2␈↓ ∧t␈εl
␈βα(␈↓ ↓H␈εαso␈αthe␈αin␈α␈tegers␈↓ β7␈ελW␈↓ βl␈εα=␈↓ ∧~␈εα2␈↓ ∧|␈ελw␈↓ ¬-␈εαare␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αthe␈αdesired␈αproduct
␈βα5␈↓ βU␈εr␈↓ ¬∀␈εr
␈βαv␈↓ ¬t␈εK␈↓ ε␈ε→␈␈ε¬2
␈βα|␈↓ β|␈ελu␈↓ ∧~␈ε⊗↓␈↓ ∧,␈ελv␈↓ ∧H␈εα=␈↓ ∧v␈ελW␈↓ ¬\␈ελL␈↓ ε?␈εα+␈↓ εk␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π≥␈εα+␈↓ πI␈ελW␈↓ πv␈ελL␈↓ λ⊗␈εα+␈↓ λB␈ελW␈↓ λn␈εα.␈↓ 
p␈εα(38)
␈ββ	␈↓ ¬∀␈εK␈↓ ¬,␈ε→␈␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ`␈ε¬0
␈ββK␈↓ ∧e␈ε¬2␈↓ ¬e␈ε¬2
␈ββP␈↓ ↓H␈εαSince␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ αu␈ελW␈↓ β-␈εα<␈α(␈↓ βi␈ελr␈↓ ∧α␈εα+␈α	1)␈↓ ∧M␈ελL␈↓ ∧␈␈εα<␈↓ ¬/␈ελK␈↓ ¬M␈ελL␈↓ ¬t␈εα,␈α
each␈↓ ε←␈ελW␈↓ π↔␈εαhas␈α∞at␈α
most␈↓ λ←␈ελk␈↓ λz␈εα+␈α	2␈↓ 	9␈ελl␈↓ 	P␈εαbits,␈α∞so␈α
it␈α
will
␈ββ]␈↓ β∪␈εr␈↓ ε⎇␈εr
␈ββ{␈↓ ↓H␈εαnot␈α
be␈α
di}cult␈α∞to␈α
compute␈α∞the␈α
binary␈α
represen␈α␈tation␈α∞when␈α
the␈↓ 	?␈ελW␈↓ 	c␈εα's␈α
are␈α
kno␈α␈wn
␈β∧&␈↓ ↓H␈εαunless␈↓ α2␈ελk␈↓ αO␈εαis␈αlarge␈αcompared␈αto␈↓ ¬≠␈ελl␈↓ ¬&␈εα.
␈β∧R␈↓ α␈εαLet␈α	us␈α
try␈α	to␈α	estimate␈α
ho␈α␈w␈α	m␈α␈uch␈α	time␈α
this␈α	method␈α	tak␈α␈es,␈α
if␈↓ 	#␈ελm␈↓ 	C␈εα-bit␈α	|x␈α␈ed-poin␈α␈t
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αis␈αused␈αin␈αcalculating␈αthe␈αFourier␈αtransforms.␈αEx␈α␈ercise␈α10␈αsho␈α␈ws␈αthat
␈β¬#␈↓ ∧#␈ε¬[␈↓ ∧+␈εj␈↓ ∧8␈ε¬]
␈β¬(␈↓ ↓H␈εαall␈α
of␈α
the␈α
quan␈α␈tities␈↓ ∧␈ελA␈↓ ∧M␈εαduring␈α
all␈α
the␈α
passes␈α
of␈α
the␈α
transform␈αcalculations␈α
will
␈β¬S␈↓ ↓H␈εαbe␈αless␈αthan␈α1␈αin␈α
magnitude␈αbecause␈αof␈αthe␈αscaling␈α(37),␈α
hence␈αit␈αsu}ces␈αto␈αdeal
␈β¬}␈↓ ↓H␈εαwith␈↓ α≠␈ελm␈↓ α;␈εα-bit␈α
fractions␈α
(.␈↓ ∧+␈ελa␈↓ ∧m␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬≥␈ελa␈↓ ¬e␈εα)␈↓ ε␈εαfor␈α∞the␈α
real␈α
and␈α
imaginary␈α∞parts␈α
of␈α
all␈α
the
␈βε␈↓ ∧<␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬.␈ε→␈␈↓ ¬K␈εm␈↓ ¬q␈ε¬2
␈βε*␈↓ ↓H␈εαin␈α␈termediate␈α∞quan␈α␈tities.␈α∀Simpli|cations␈α∞are␈α∂possible␈α∞because␈α∂the␈α∞inputs␈↓ 
E␈ελu␈↓ 
r␈εαand
␈βε7␈↓ 
Y␈εt
␈βεU␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓o␈εαare␈α∞real-valued:␈α∂only␈↓ ∧E␈ελK␈↓ ∧p␈εαreal␈α∞values␈α
instead␈α∞of␈α
2␈↓ πb␈ελK␈↓ λ
␈εαneed␈α∞to␈α
be␈α∞carried␈α
in␈α
each
␈βεb␈↓ ↓W␈εt
␈βπ␈↓ ↓H␈εαstep␈α
(see␈αex␈α␈ercise␈α4.6.4↑14).␈αWe␈αwill␈αignore␈α
such␈αre|nemen␈α␈ts␈αin␈αorder␈αto␈αk␈α␈eep␈α
the
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαdiscussion␈αsimple.
␈βπV␈↓ α␈εαThe␈α
|rst␈αjob␈α
is␈α
to␈α
compute␈↓ ¬D␈ελ|␈↓ ¬h␈εαand␈α
its␈αpo␈α␈w␈α␈ers.␈α∂For␈αsimplicity␈α
w␈α␈e␈α
shall␈αmak␈α␈e
␈βπ|␈↓ ∧-␈ε¬0␈↓ ¬.␈εK␈↓ ¬F␈ε→␈␈ε¬1
␈βλα␈↓ ↓H␈εαa␈αtable␈αof␈αthe␈αvalues␈↓ ∧⊗␈ελ|␈↓ ∧;␈εα,␈↓ ∧Q␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬↔␈ελ|␈↓ ¬q␈εα.␈αLet
␈βλO␈↓ π#␈εr
␈βλU␈↓ ¬.␈ελ|␈↓ ¬Y␈εα=␈↓ επ␈εαexp␈↓ ε?␈εα(2␈↓ ε]␈ελ→␈↓ εq␈ελi␈↓ ε␈␈εα/␈↓ π⊃␈εα2␈↓ π0␈εα),
␈βλc␈↓ ¬B␈εr
␈β	#␈↓ εH␈∧	#εHα∩
␈β	$␈↓ ε$␈ε⊗p
␈β	)␈↓ ↓H␈εαso␈απthat␈↓ α9␈ελ|␈↓ αe␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα1,␈↓ β\␈ελ|␈↓ ∧λ␈εα=␈↓ ∧6␈ελi␈↓ ∧D␈εα,␈↓ ∧W␈ελ|␈↓ ¬β␈εα=␈α
(1␈αα+␈↓ ¬x␈ελi␈↓ εε␈εα)/␈↓ εH␈εα2␈↓ εZ␈εα,␈↓ εl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≤␈εα,␈↓ π/␈ελ|␈↓ π[␈εα=␈↓ λ	␈ελ|␈↓ λ ␈εα.␈αIf␈↓ λT␈ελ|␈↓ 	␈εα=␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	N␈εα+␈↓ 	t␈ελi␈↓ 
α␈ελy␈↓ 
 ␈εα,␈α	w␈α␈e␈απhav␈α␈e
␈β	7␈↓ αM␈ε¬1␈↓ βp␈ε¬2␈↓ ∧k␈ε¬3␈↓ πC␈εk␈↓ λh␈εr␈↓ 	>␈εr␈↓ 
∪␈εr
␈β	|␈↓ ¬F␈ε↓r␈↓ ¬j␈∧	|¬jαl␈↓ π_␈ε↓r␈↓ π<␈∧	|π<αl
␈β
¬␈↓ ¬n␈εα1␈αλ+␈↓ ε4␈ελx␈↓ π@␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λε␈ελx
␈β
∪␈↓ εE␈εr␈↓ λ↔␈εr
␈β
≤␈↓ ∧B␈ελ|␈↓ ¬_␈εα=␈↓ ε↑␈εα+␈↓ π
␈ελi␈↓ λ(␈εα.␈↓ 
p␈εα(39)
␈β
)␈↓ ∧V␈εr␈↓ ∧c␈ε¬+1
␈β
,␈↓ ¬n␈∧
,¬nαd␈↓ π@␈∧
,π@αd
␈β
4␈↓ ε↔␈εα2␈↓ πi␈εα2
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαThe␈αcalculation␈αof␈↓ βr␈ελ|␈↓ ∧∀␈εα,␈↓ ∧*␈ελ|␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧c␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∪␈εα,␈↓ ¬)␈ελ|␈↓ ¬W␈εαtak␈α␈es␈αnegligible␈αtime␈αcompared␈αwith␈αthe␈αother
␈β␈↓ ∧ε␈ε¬1␈↓ ∧>␈ε¬2␈↓ ¬=␈εk
␈β)␈↓ ↓H␈εαcomputations␈α
w␈α␈e␈α
need,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
use␈α
an␈α␈y␈α
straigh␈α␈tforward␈α
algorithm␈α
for␈α
square
␈βO␈↓ 
l␈εj
␈βT␈↓ ↓H␈εαroots.␈αOnce␈αthe␈↓ βD␈ελ|␈↓ βp␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αcalculated␈αw␈α␈e␈αcan␈αcompute␈αall␈αof␈αthe␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈↓ 
U␈ελ|␈↓ ∧␈εαby
␈βa␈↓ βX␈εr
␈βz␈↓ β;␈ε¬0␈↓ 
=␈εK␈↓ 
U␈ε→␈␈↓ 
r␈εr
␈β␈␈↓ ↓H␈εαstarting␈α∞with␈↓ β$␈ελ|␈↓ βX␈εα=␈α∞0␈α∞and␈α∞using␈α∂the␈α∞follo␈α␈wing␈α∂idea␈α∞for␈↓ λ7␈ελj␈↓ λV␈εα>␈α∞0:␈α⊂If␈↓ 	[␈ελj␈↓ 	y␈εα=␈↓ 
+␈εα2␈↓ 	␈ε⊗↓␈↓ ≤␈ελq
␈β%␈↓ ¬
␈εK␈↓ ¬%␈ε→␈␈↓ ¬B␈εr
␈β*␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελq␈↓ αL␈εαis␈αodd,␈αand␈αif␈↓ ∧(␈ελj␈↓ ∧M␈εα=␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬W␈ε⊗↓␈εα␈αλ(␈↓ ¬u␈ελq␈↓ ε
␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β8␈↓ ∧5␈ε¬0
␈βx␈↓ ¬j␈εj␈↓ εF␈εj
␈β}␈↓ ¬S␈ελ|␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε/␈ελ|␈↓ εd␈ε⊗↓␈↓ εv␈ελ|␈↓ π_␈εα.␈↓ 
p␈εα(40)
␈β
↓␈↓ εQ␈επ0
␈β
␈↓ π
␈εr
␈β
M␈↓ 
U␈εj
␈β
R␈↓ ↓H␈εαThis␈α⊂method␈α⊂of␈α⊂calculation␈α⊂k␈α␈eeps␈α⊂errors␈α⊂from␈α⊂propagating,␈α⊃since␈α⊂each␈↓ 
>␈ελ|␈↓ 
r␈εαis␈α⊂a
␈β
x␈↓ 	s␈εj
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαproduct␈α
of␈α
at␈α
most␈↓ βu␈ελk␈↓ ∧⊃␈εαof␈α
the␈↓ ∧u␈ελ|␈↓ ¬↔␈εα's.␈αThe␈α
total␈αtime␈α
to␈α
calculate␈α
all␈αthe␈↓ 	\␈ελ|␈↓ 

␈εαis␈↓ 
-␈ελO␈↓ 
G␈εα(␈↓ 
S␈ελK␈↓ 
q␈ελM␈↓ ⊗␈εα),
␈β∞␈↓ ¬	␈εr
␈β∞)␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α-␈ελM␈↓ α]␈εαis␈α	the␈α
time␈α
to␈α
do␈α	an␈↓ ¬∪␈ελm␈↓ ¬3␈εα-bit␈α	complex␈α
m␈α␈ultiplication;␈αthis␈α	is␈α
less␈α
time␈α	than
␈β∞T␈↓ ↓H␈εαthe␈αsubsequen␈α␈t␈αsteps␈αwill␈αrequire,␈αso␈αw␈α␈e␈αcan␈αignore␈αit.
␈β∞␈␈↓ α␈εαEach␈α
of␈αthe␈α
three␈αFourier␈α
transformations␈α
comprises␈↓ λG␈ελk␈↓ λc␈εαpasses,␈αeach␈α
of␈α
which
␈β∂%␈↓ ε}␈εj
␈β∂*␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈↓ αO␈ελK␈↓ αx␈εαoperations␈αof␈α
the␈αform␈↓ ¬←␈ελa␈↓ ¬z␈ε⊗ ␈↓ ε(␈ελb␈↓ ε=␈εα+␈↓ εg␈ελ|␈↓ π␈ελc␈↓ π~␈εα,␈α
so␈αthe␈αtotal␈α
time␈αto␈αcalculate␈α
the
␈β∂U␈↓ ↓H␈εαFourier␈αtransforms␈αis
␈β⊂↓␈↓ ¬λ␈ελO␈↓ ¬"␈εα(␈↓ ¬.␈ελk␈↓ ¬@␈ελK␈↓ ¬]␈ελM␈↓ εβ␈εα)␈α
=␈↓ εG␈ελO␈↓ εa␈εα(␈↓ εm␈ελM␈↓ π∪␈ελn␈↓ π)␈ελk␈↓ π:␈εα/␈↓ πL␈ελl␈↓ πV␈εα).
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαFinally,␈α
the␈α∞w␈α␈ork␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α∞in␈α
computing␈α
the␈α∞binary␈α
digits␈α∞of␈↓ 	~␈ελu␈↓ 	9␈ε⊗↓␈↓ 	K␈ελv␈↓ 	l␈εαusing␈α
(38)␈α
is
␈β⊂O␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ αs␈ε↓↓
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελK␈↓ α∞␈εα(␈↓ α~␈ελk␈↓ α2␈εα+␈↓ α\␈ελl␈↓ αg␈εα)␈↓ β␈εα=␈↓ β9␈ελO␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελn␈↓ β{␈εα+␈↓ ∧%␈ελn␈↓ ∧;␈ελk␈↓ ∧M␈εα/␈↓ ∧←␈ελl␈↓ ∧i␈εα).␈αSumming␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αoperations,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈αthe␈α
total
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαtime␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ βW␈ελn␈↓ βl␈εα-bit␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬@␈ελu␈↓ ¬b␈εαand␈↓ ε(␈ελv␈↓ εG␈εαwill␈αbe␈↓ π;␈ελO␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελn␈↓ πw␈εα)␈αλ+␈↓ λ7␈ελO␈↓ λQ␈εα(␈↓ λ]␈ελM␈↓ 	α␈ελn␈↓ 	_␈ελk␈↓ 	*␈εα/␈↓ 	<␈ελl␈↓ 	F␈εα).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα706␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α∞let's␈α∂see␈α∞ho␈α␈w␈α∞large␈α∞the␈α∂in␈α␈termediate␈α∞precision␈↓ λ?␈ελm␈↓ λm␈εαneeds␈α∞to␈α∞be,␈α∂so␈α∞that
␈βαS␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αho␈α␈w␈αlarge␈↓ β␈␈ελM␈↓ ∧1␈εαneeds␈αto␈α
be.␈αFor␈αsimplicity␈α
w␈α␈e␈αshall␈αbe␈αcon␈α␈ten␈α␈t␈αwith␈αsafe
␈βα}␈↓ ↓H␈εαestimates␈αof␈αthe␈αaccuracy,␈αinstead␈αof␈α|nding␈αthe␈αbest␈αpossible␈αbounds.␈αIt␈αwill␈αbe
␈ββ%␈↓ ¬M␈εj␈↓ 	P␈εj␈↓ 	j␈ε→0
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞to␈α∂compute␈α∂all␈α∂the␈↓ ¬6␈ελ|␈↓ ¬i␈εαso␈α∂that␈α∂our␈α∂appro␈α␈ximations␈α∞(␈↓ 	9␈ελ|␈↓ 	↑␈εα)␈↓ 
␈εαwill␈α∞satisfy
␈ββP␈↓ ↓u␈εj␈↓ α∞␈ε→0
␈ββU␈↓ ↓H␈ε⊗j␈εα(␈↓ ↓↑␈ελ|␈↓ αα␈εα)␈↓ α∃␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1;␈α
this␈α	condition␈αλis␈α	easy␈α	to␈α	guaran␈α␈tee␈α	if␈αλw␈α␈e␈α	truncate␈α	to␈α␈wards␈α	zero␈αλinstead
␈ββ{␈↓ λE␈ε→0
␈β∧␈↓ ↓H␈εαof␈α∂rounding.␈α⊗Let␈α∂us␈α⊂assume␈α∂that␈α∂our␈α⊂appro␈α␈ximations␈↓ λ.␈ελ|␈↓ λb␈εαto␈↓ 	⊃␈ελ|␈↓ 	B␈εαcan␈α∂be␈α∂written
␈β∧
␈↓ 	%␈εr
␈β∧∩␈↓ λE␈εr
␈β∧&␈↓ ↓←␈ε→0
␈β∧+␈↓ ↓H␈ελ|␈↓ ↓x␈εα=␈↓ α'␈ελ|␈↓ αH␈εα(1␈α	+␈↓ β≤␈ελ∞␈↓ β6␈εα)␈α
and␈α
that␈α
the␈α
m␈α␈ultiplication␈α
(40)␈α
in␈α␈troduces␈α
an␈α
additional␈αerror
␈β∧9␈↓ α;␈εr␈↓ β)␈εr
␈β∧=␈↓ ↓←␈εr
␈β∧Q␈↓ β1␈ε¬(␈↓ β:␈εj␈↓ βH␈ε¬)␈↓ λ)␈ε¬(␈↓ λ2␈εj␈↓ λ@␈ε¬)
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαfactor␈αof␈α1␈αλ+␈↓ β ␈ελ∞␈↓ βQ␈εα,␈αwhere␈αthe␈αcomplex␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ π+␈ελ∞␈↓ πR␈εαand␈↓ λ_␈ελ∞␈↓ λU␈εαsatisfy
␈β∧d␈↓ π8␈εr
␈β¬"␈↓ ∧h␈ε¬(␈↓ ∧r␈εj␈↓ ∧␈␈ε¬)␈↓ π→␈ε→␈␈↓ π6␈εm␈↓ λ⊗␈ε→␈␈↓ λ3␈εm␈↓ 	5␈ε¬1/2␈ε→␈α↓␈␈↓ 	⎇␈εm
␈β¬(␈↓ αT␈ε⊗j␈↓ α↑␈ελ∞␈↓ αx␈ε⊗j␈α
∀␈↓ β:␈ελ∞␈↓ βo␈εαand␈↓ ∧M␈ε⊗j␈↓ ∧W␈ελ∞␈↓ ¬	␈ε⊗j␈α
∀␈↓ ¬K␈ελ∞␈↓ ¬\␈εα,␈↓ ε4␈ελ∞␈↓ εO␈εα=␈ε⊗␈α
j␈↓ ππ␈εα2␈↓ πX␈εα+␈↓ λ∧␈εα2␈↓ λS␈ελi␈↓ λa␈ε⊗j␈εα␈α
=␈↓ 	#␈εα2␈↓ 
↔␈εα.␈↓ 
p␈εα(41)
␈β¬6␈↓ αk␈εr
␈β¬u␈↓ αS␈εj␈↓ αl␈ε→0␈↓ β?␈εj␈↓ ∧}␈ε¬2␈↓ ¬
␈εk␈↓ ¬≠␈ε→␈␈ε¬2
␈β¬z␈↓ ↓H␈εαThen␈ε⊗␈αj␈εα(␈↓ α<␈ελ|␈↓ α`␈εα)␈↓ α{␈ε⊗␈␈↓ β(␈ελ|␈↓ βL␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧a␈ελ∞␈↓ ∧r␈εα)␈↓ ¬O␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈αand␈αthis␈αis␈α
less␈αthan␈α(2␈↓ 	λ␈ελk␈↓ 	"␈ε⊗␈␈↓ 	N␈ελl␈↓ 	X␈εα)␈↓ 	d␈ελ∞␈↓ 
α␈εαif␈αw␈α␈e␈αmak␈α␈e
␈βε%␈↓ ↓H␈εαthe␈αreasonable␈αassumption␈αthat␈↓ ¬B␈ελm␈↓ ¬k␈ε⊗∃␈↓ ε→␈ελk␈↓ ε5␈ε⊗∃␈εα␈α
5.␈αThe␈αerror␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αin␈αeach␈αFourier
␈βεP␈↓ ↓H␈εαtransform␈αstep␈αcan␈αno␈α␈w␈αbe␈αestimated␈αas␈αfollo␈α␈ws:␈αIf
␈βπ≤␈↓ α
␈ε→0␈↓ ∧∪␈ε→0␈↓ ε2␈εj␈↓ εK␈ε→0␈↓ λ+␈εj␈↓ λD␈ε→0␈↓ 	↔␈εj
␈βπ"␈↓ ↓q␈ε⊗j␈↓ ↓{␈ελb␈↓ α→␈ε⊗␈␈↓ αE␈ελb␈↓ αS␈ε⊗j␈α
∀␈↓ β∃␈ελ∂␈↓ β#␈εα,␈ε⊗␈↓ β{j␈↓ ∧¬␈ελc␈↓ ∧#␈ε⊗␈␈↓ ∧O␈ελc␈↓ ∧]␈ε⊗j␈α
∀␈↓ ¬∨␈ελ∂␈↓ ¬-␈εα,␈ε⊗␈↓ ε¬j␈εα(␈↓ ε≠␈ελ|␈↓ ε?␈εα)␈↓ εR␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1,␈ε⊗␈↓ π}j␈εα(␈↓ λ∀␈ελ|␈↓ λ8␈εα)␈↓ λT␈ε⊗␈␈↓ 	␈ελ|␈↓ 	$␈ε⊗j␈εα␈α
<␈α
(2␈↓ 
∧␈ελk␈↓ 
≡␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ 
h␈ελ∞␈↓ 
y␈εα,
␈βπo␈↓ λ:␈εj
␈βπt␈↓ ↓H␈εαthen␈αwhen␈αw␈α␈e␈αreplace␈αthe␈αexact␈αcomputation␈↓ π↔␈ελa␈↓ π3␈ε⊗ ␈↓ πa␈ελb␈↓ πw␈εα+␈↓ λ#␈ελ|␈↓ λG␈ελc␈↓ λa␈εαby
␈βλ&␈↓ ε1␈ε↓␈␈↓ πb␈ε↓↓
␈βλ?␈↓ ¬⊗␈ε→0␈↓ εN␈ε→0␈↓ π,␈εj␈↓ πE␈ε→0␈↓ π[␈ε→0
␈βλE␈↓ ¬∧␈ελa␈↓ ¬'␈ε⊗ ␈↓ ¬U␈εαround␈↓ ε?␈ελb␈↓ ε]␈εα+␈αλ(␈↓ π∃␈ελ|␈↓ π9␈εα)␈↓ πL␈ελc
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αabsolute␈αerror␈αbound
␈β	c␈↓ βm␈ε→0
␈β	i␈↓ βQ␈ε⊗j␈↓ β[␈ελa␈↓ β|␈ε⊗␈␈↓ ∧(␈ελa␈↓ ∧:␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ ∧|␈ελ∞␈↓ ¬∃␈εα+␈↓ ¬A␈ελ∂␈↓ ¬W␈εα+␈↓ εβ␈ελ∂␈↓ ε→␈εα+␈αλ(2␈↓ εc␈ελk␈↓ ε⎇␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ πG␈ελ∞␈↓ πb␈εα=␈α
2␈↓ λ"␈ελ∂␈↓ λ8␈εα+␈αλ2␈↓ λv␈ελk␈↓ 	λ␈ελ∞␈↓ 	→␈εα.
␈β
;␈↓ ↓H␈εαIf␈αthe␈αabsolute␈αerror␈αat␈αthe␈αtime␈αof␈α\Pass␈α0"␈αis␈αbounded␈αby␈↓ λf␈ελ∂␈↓ 	↓␈εα,␈αthe␈αabsolute␈αerror
␈β
H␈↓ λs␈ε¬0
␈β
f␈↓ ↓H␈εαafter␈α\Pass␈↓ β␈ελj␈↓ β⊂␈εα"␈αwill␈αbe␈αbounded␈αby
␈β1␈↓ ¬*␈εj␈↓ ε$␈εj
␈β8␈↓ ¬_␈εα2␈↓ ¬7␈ελ∂␈↓ ¬Z␈εα+␈αλ(␈↓ ε∩␈εα2␈↓ ε9␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ2␈↓ π/␈ελk␈↓ πA␈ελ∞␈↓ πR␈εα.
␈βE␈↓ ¬D␈ε¬0
␈β∧␈↓ λ∪␈ε→0␈↓ 	R␈εk
␈β	␈↓ ↓H␈εαTherefore␈αthe␈α
computed␈α
values␈αof␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ¬l␈εα∂␈↓ ε→␈εαwill␈αsatisfy␈ε⊗␈α
j␈εα(␈↓ πf␈ελu␈↓ πg␈εα∂␈↓ λπ␈εα)␈↓ λ#␈ε⊗␈␈↓ λO␈ελu␈↓ λP␈εα∂␈↓ λp␈ε⊗j␈εα␈α<␈α(␈↓ 	@␈εα2␈↓ 	i␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ2␈↓ 
`␈ελk␈↓ 
r␈ελ∞␈↓ β␈εα;␈α
a
␈β↔␈↓ ε␈εs␈↓ πz␈εs␈↓ λd␈εs
␈β/␈↓ ¬C␈ε→0
␈β4␈↓ ↓H␈εαsimilar␈αform␈α␈ula␈αwill␈αhold␈αfor␈α(␈↓ ¬~␈εα∂␈↓ ¬≠␈ελv␈↓ ¬7␈εα)␈↓ ¬J␈εα;␈αand␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e
␈βB␈↓ ¬*␈εs
␈β
␈↓ ∧u␈ε→0␈↓ εF␈εk
␈β
ε␈↓ ∧/␈ε⊗j␈εα(␈↓ ∧E␈ελw␈↓ ∧H␈εα∂␈↓ ∧i␈εα)␈↓ ¬∧␈ε⊗␈␈↓ ¬0␈ελw␈↓ ¬3␈εα∂␈↓ ¬T␈ε⊗j␈εα␈α
<␈α
2(␈↓ ε4␈εα2␈↓ ε]␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ2␈↓ πS␈ελk␈↓ πe␈ελ∞␈↓ π}␈εα+␈↓ λ*␈ελ∞␈↓ λ;␈εα.
␈β
∀␈↓ ∧]␈εs␈↓ ¬H␈εs
␈β
X␈↓ ↓H␈εαDuring␈αthe␈αin␈α␈v␈α␈erse␈αtransformation␈αthere␈αis␈αan␈αadditional␈αaccum␈α␈ulation␈αof␈αerrors,
␈β
}␈↓ ∧e␈εk␈↓ ∨␈ε→0
␈β∞β␈↓ ↓H␈εαbut␈αthe␈α
division␈αby␈↓ β⎇␈ελK␈↓ ∧%␈εα=␈↓ ∧S␈εα2␈↓ ∧␈␈εαameliorates␈αmost␈αof␈α
this,␈αso␈αthe␈α
computed␈αvalues␈↓ ∧␈ελw
␈β∞∃␈↓ ∨␈εr
␈β∞.␈↓ ↓H␈εαwill␈αsatisfy
␈β∞S␈↓ ¬H␈ε→0␈↓ π'␈εk
␈β∞Y␈↓ ¬$␈ε⊗j␈↓ ¬.␈ελw␈↓ ¬↑␈ε⊗␈␈↓ ε
␈ελw␈↓ ε/␈ε⊗j␈εα␈α
<␈α
4␈↓ πβ␈ελk␈↓ π∃␈εα2␈↓ π5␈ελ∞␈↓ πF␈εα.
␈β∞g␈↓ ε"␈εr
␈β∞k␈↓ ¬H␈εr
␈β∂↔␈↓ ε≡␈ε¬2␈↓ ε-␈εk␈↓ ε;␈ε¬+2␈↓ εf␈εl␈↓ π	␈ε→0
␈β∂≤␈↓ ↓H␈εαWe␈α∂need␈α∂enough␈α∂precision␈α⊂to␈α∂mak␈α␈e␈↓ ε␈εα2␈↓ εn␈ελw␈↓ π&␈εαround␈α∂to␈α∂the␈α⊂correct␈α∂in␈α␈teger␈↓ 
w␈ελW␈↓ "␈εα,
␈β∂)␈↓ ∃␈εr
␈β∂.␈↓ π	␈εr
␈β∂G␈↓ ↓H␈εαhence␈αw␈α␈e␈αneed
␈β∂d␈↓ λπ␈εα1
␈β∂t␈↓ ∧←␈ε¬2␈↓ ∧m␈εk␈↓ ∧|␈ε¬+2␈↓ ¬'␈εl␈↓ ¬/␈ε¬+2+␈↓ ¬w␈ε¬lg␈↓ ε∩␈εk␈↓ ε!␈ε¬+␈↓ ε>␈εk␈↓ εL␈ε¬+1␈α↓/2␈ε→␈␈↓ π1␈εm
␈β∂z␈↓ ∧M␈εα2␈↓ πU␈ε⊗∀␈↓ λ≥␈εα,
␈β⊂␈↓ λπ␈∧⊂λπα∩
␈β⊂∪␈↓ λπ␈εα2
␈β⊂I␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈↓ α␈ελm␈↓ α5␈ε⊗∃␈εα␈α
3␈↓ αu␈ελk␈↓ β∂␈εα+␈αλ2␈↓ βM␈ελl␈↓ β←␈εα+␈↓ ∧␈εαlg␈↓ ∧-␈ελk␈↓ ∧G␈εα+␈αλ7/2.␈αThis␈αwill␈αhold␈αif␈αw␈α␈e␈αsimply␈αrequire␈αthat
␈β⊃~␈↓ ∧<␈ελk␈↓ ∧X␈ε⊗∃␈εα␈α
7␈↓ ¬`␈εαand␈↓ εb␈ελm␈↓ π␈ε⊗∃␈εα␈α
4␈↓ πL␈ελk␈↓ πf␈εα+␈αλ2␈↓ λ$␈ελl␈↓ λ.␈εα.␈↓ 
p␈εα(42)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα707
␈βα&␈↓ ↓H␈εαRelations␈α⊂(35)␈α⊂and␈α⊂(42)␈α⊂can␈α⊂be␈α⊃used␈α⊂to␈α⊂determine␈α⊂parameters␈↓ 	8␈ελk␈↓ 	J␈εα,␈↓ 	e␈ελl␈↓ 	o␈εα,␈↓ 

␈ελm␈↓ 
:␈εαso␈α⊂that
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈α∂tak␈α␈es␈↓ ∧∪␈ελO␈↓ ∧-␈εα(␈↓ ∧9␈ελn␈↓ ∧O␈εα)␈α+␈↓ ¬∀␈ελO␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελM␈↓ ¬`␈ελn␈↓ ¬v␈ελk␈↓ επ␈εα/␈↓ ε→␈ελl␈↓ ε$␈εα)␈α∂units␈α⊂of␈α⊂time,␈α⊃where␈↓ 	_␈ελM␈↓ 	M␈εαis␈α⊂the␈α⊂time␈α∂to
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈↓ αY␈ελm␈↓ αx␈εα-bit␈αfractions.
␈ββ(␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈αare␈αusing␈ε∃␈αM␈α␈IX␈εα,␈αfor␈αexample,␈αsuppose␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αm␈α␈ultiply␈αbinary␈αn␈α␈um-
␈ββN␈↓ βl␈ε¬1␈α↓3
␈ββS␈↓ ↓H␈εαbers␈αhaving␈↓ β␈ελn␈↓ β+␈εα=␈↓ βZ␈εα2␈↓ ∧∀␈εα=␈α8192␈α
bits␈αeach.␈α∞We␈α
can␈αchoose␈↓ λ2␈ελk␈↓ λN␈εα=␈α11,␈↓ 	8␈ελl␈↓ 	M␈εα=␈α8,␈↓ 
%␈ελm␈↓ 
O␈εα=␈α60,
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαso␈α
that␈α
the␈α∞necessary␈↓ ∧%␈ελm␈↓ ∧E␈εα-bit␈α
operations␈α∞are␈α
nothing␈α
more␈α∞than␈α
double␈α
precision
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαarithmetic.␈αThe␈αrunning␈αtime␈↓ ¬!␈ελM␈↓ ¬S␈εαneeded␈αto␈αdo␈α|x␈α␈ed-poin␈α␈t␈↓ λ\␈ελm␈↓ λ|␈εα-bit␈αcomplex␈αm␈α␈ulti-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαplication␈αwill␈αtherefore␈αbe␈αcomparativ␈α␈ely␈αsmall.␈αWith␈αtriple-precision␈αoperations
␈β∧{␈↓ εi␈ε¬1␈α↓5
␈β¬␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αgo␈αup␈αto␈↓ βM␈ελk␈↓ βi␈εα=␈α
16,␈↓ ∧Q␈ελl␈↓ ∧e␈εα=␈α
13,␈↓ ¬M␈ελn␈↓ ¬l␈ε⊗∀␈εα␈α
13␈ε⊗␈αλ↓␈↓ εW␈εα2␈↓ πε␈εα,␈αwhich␈αtak␈α␈es␈αus␈αway␈αbey␈α␈ond␈ε∃␈αMIX␈εα␈α␈'s
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαmemory␈αcapacity.
␈β¬V␈↓ α␈εαFurther␈α
study␈α
of␈α
the␈αchoice␈α
of␈↓ ¬i␈ελk␈↓ ¬{␈εα,␈↓ ε∂␈ελl␈↓ ε→␈εα,␈αand␈↓ εr␈ελm␈↓ π≤␈εαleads␈α
in␈α
fact␈α
to␈α
a␈α
rather␈α
surprising
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαconclusion:␈ε∂␈α∩For␈α	all␈α	practical␈α
purposes␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	assume␈α	that␈↓ λO␈ελM␈↓ λ⎇␈ε∂is␈α
constan␈α␈t,␈α	and␈α	the
␈βε-␈↓ ↓H␈ε∂Sch␈↓ α␈ε∂∪␈↓ α␈ε∂o␈↓ α∩␈ε∂nhage-Strassen␈α∞m␈α␈ultiplication␈α∂technique␈α∂will␈α∂hav␈α␈e␈α∂a␈α∂running␈α∂time␈α∞linearly
␈βεX␈↓ ↓H␈ε∂proportional␈α∞to␈↓ βF␈ελn␈↓ β[␈ε∂.␈εα␈α≥The␈α∞reason␈α∂is␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞choose␈↓ λ&␈ελk␈↓ λE␈εα=␈↓ λw␈ελl␈↓ 	∂␈εαand␈↓ 	W␈ελm␈↓ 
∧␈εα=␈α∞6␈↓ 
H␈ελk␈↓ 
Y␈εα;␈α∂this
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαchoice␈αλof␈↓ αV␈ελk␈↓ αp␈εαis␈αλalways␈αλless␈αλthan␈↓ ¬⊂␈εαlg␈↓ ¬2␈ελn␈↓ ¬H␈εα,␈α	so␈αλw␈α␈e␈αλwill␈α	nev␈α␈er␈αλneed␈αλto␈αλuse␈αλmore␈αλthan␈αλsextuple
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαprecision␈α
unless␈↓ βJ␈ελn␈↓ βl␈εαis␈α
larger␈α
than␈α
the␈α
w␈α␈ord␈α
size␈α
of␈α
our␈α
computer.␈α≠(In␈αparticular,
␈βπY␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓h␈εαw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈αto␈αbe␈αlarger␈αthan␈αthe␈αcapacity␈αof␈αan␈αindex␈αregister␈αused␈αto␈αaddress
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εαmemory,␈αso␈αw␈α␈e␈αprobably␈αcouldn't␈α|t␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ π←␈ελu␈↓ λ␈εαand␈↓ λF␈ελv␈↓ λe␈εαin␈αmain␈αmemory.)
␈βλ0␈↓ α␈εαThe␈α∞practical␈α
problem␈α∞of␈α
fast␈α∞m␈α␈ultiplication␈α
is␈α∞therefore␈α
solv␈α␈ed,␈α∞ex␈α␈cept␈α
for
␈βλ[␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αconstan␈α␈t␈αfactor.␈αBut␈αour␈αin␈α␈terest␈αin␈αm␈α␈ultiplying␈αlarge␈αn␈α␈um-
␈β	ε␈↓ ↓H␈εαbers␈αis␈αpartly␈αtheoretical,␈αbecause␈αit␈αis␈αin␈α␈teresting␈αto␈αexplore␈αthe␈αultimate␈αlimits
␈β	1␈↓ ↓H␈εαof␈αλcomputational␈α	complexity.␈αSo␈α	let's␈αλforget␈α	practical␈α	considerations␈α	and␈αλsuppose
␈β	]␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελn␈↓ α6␈εαis␈αextremely␈αh␈α␈uge,␈αperhaps␈αm␈α␈uch␈αlarger␈αthan␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αatoms␈αin␈αthe
␈β
λ␈↓ ↓H␈εαuniv␈α␈erse.␈α⊗We␈α⊂can␈α⊂let␈↓ ∧*␈ελm␈↓ ∧Z␈εαbe␈α∂appro␈α␈ximately␈α⊂6␈↓ π_␈εαlg␈↓ π:␈ελn␈↓ πO␈εα,␈α⊃and␈α⊂use␈α∂the␈α⊂same␈α∂algorithm
␈β
3␈↓ ↓H␈εαrecursiv␈α␈ely␈α	to␈α	do␈α
the␈↓ ∧∞␈ελm␈↓ ∧.␈εα-bit␈α	m␈α␈ultiplications.␈αThe␈α	running␈α
time␈α	will␈α	satisfy␈↓ 
8␈ελT␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελn␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β
?␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ β␈ε↓↓
␈β
↑␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελn␈↓ α¬␈ελT␈↓ α∨␈εα(␈↓ α+␈εαlog␈↓ α←␈ελn␈↓ αt␈εα)␈↓ β∞␈εα;␈αhence
␈β#␈↓ βb␈ελT␈↓ β{␈εα(␈↓ ∧π␈ελn␈↓ ∧≥␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧a␈ελC␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬~␈εα(␈↓ ¬&␈ελC␈↓ ¬I␈εαlg␈↓ ¬k␈ελn␈↓ ε␈εα)(␈↓ ε_␈ελC␈↓ ε<␈εαlg␈↓ ε↑␈εαlg␈↓ π␈ελn␈↓ π∃␈εα)(␈↓ π-␈ελC␈↓ πQ␈εαlg␈↓ πs␈εαlg␈↓ λ∃␈εαlg␈↓ λ7␈ελn␈↓ λL␈εα)␈↓ λX␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	λ␈εα,
␈βg␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈αproduct␈αcon␈α␈tin␈α␈ues␈αun␈α␈til␈αreaching␈αa␈αfactor␈αwith␈↓ λO␈εαlg␈↓ λq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	!␈εαlg␈↓ 	C␈ελn␈↓ 	b␈ε⊗∀␈εα␈α
1.
␈β∩␈↓ α␈εαSch␈↓ αD␈εα∪␈↓ αD␈εαo␈↓ αV␈εαnhage␈α	and␈αλStrassen␈α	sho␈α␈w␈α␈ed␈αλho␈α␈w␈α	to␈αλimpro␈α␈v␈α␈e␈α	this␈αλtheoretical␈α	upper␈αλbound
␈β=␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓q␈ελO␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελn␈↓ α3␈εαlog␈↓ αg␈ελn␈↓ ββ␈εαlog␈↓ β7␈εαlog␈↓ βk␈ελn␈↓ ∧↓␈εα)␈α	in␈α
their␈α
paper,␈α
by␈α
using␈ε∂␈α
in␈α␈teger␈εα␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	∞␈ελ|␈↓ 	/␈εαto␈α
carry␈α
out␈α	fast
␈βd␈↓ 	~␈εe
␈βi␈↓ ↓H␈εαFourier␈αtransforms␈αon␈αin␈α␈tegers,␈αmodulo␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αthe␈αform␈↓ 	λ␈εα2␈↓ 	-␈εα+␈αλ1.␈αThis␈αupper
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαbound␈α
applies␈α
to␈α
Turing␈α
machines,␈αi.e.,␈α
to␈αcomputers␈α
with␈α
bounded␈α
memory␈α
and
␈β
?␈↓ ↓H␈εαa␈α|nite␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αarbitrarily␈αlong␈αtapes.
␈β
j␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈αallo␈α␈w␈αourselv␈α␈es␈αa␈αmore␈αpo␈α␈w␈α␈erful␈αcomputer,␈αwith␈αrandom␈αaccess␈αto␈αan␈α␈y
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈απof␈απw␈α␈ords␈απof␈απbounded␈απsize,␈αλSch␈↓ ε␈εα∪␈↓ ε␈εαo␈↓ ε∩␈εαnhage␈απhas␈απpoin␈α␈ted␈απout␈απthat␈απthe␈απupper␈απbound
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαdrops␈αto␈↓ αV␈ελO␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελn␈↓ β_␈εαlog␈↓ βL␈ελn␈↓ βa␈εα).␈α
For␈αw␈α␈e␈αcan␈αchoose␈↓ ε1␈ελk␈↓ εM␈εα=␈↓ ε{␈ελl␈↓ π∩␈εαand␈↓ πX␈ελm␈↓ λα␈εα=␈α
6␈↓ λB␈ελk␈↓ λT␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αtime␈αto
␈β∞g␈↓ 
G␈ε→d␈↓ 
R␈εm␈↓ 
l␈ε¬/1␈α↓2␈ε→e
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαbuild␈αa␈αcomplete␈α
m␈α␈ultiplication␈αtable␈α
of␈αall␈αproducts␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ!␈ελy␈↓ λA␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ 	E␈ελx␈↓ 	X␈εα,␈↓ 	h␈ελy␈↓ 
ε␈εα<␈↓ 
5␈εα2␈↓ "␈εα.
␈β∂∩␈↓ ¬R␈εk␈↓ ε%␈εk␈↓ ε3␈ε¬+1
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εα(The␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	such␈α	products␈α	is␈↓ ¬@␈εα2␈↓ ¬j␈εαor␈↓ ε∪␈εα2␈↓ ε↑␈εα,␈α
and␈αλw␈α␈e␈α	can␈α	compute␈α	each␈α	table␈αλen␈α␈try
␈β∂=␈↓ 	;␈εk
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαby␈α	addition␈α
from␈α	one␈α
of␈α	its␈α
predecessors␈α	in␈↓ ε`␈ελO␈↓ εz␈εα(␈↓ πε␈ελk␈↓ π_␈εα)␈α	steps,␈α
hence␈↓ λq␈ελO␈↓ 	␈εα(␈↓ 	↔␈ελk␈↓ 	)␈εα2␈↓ 	I␈εα)␈α
=␈↓ 

␈ελO␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελn␈↓ 
I␈εα)␈α	steps
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαwill␈α
su}ce␈αfor␈αthe␈αcalculation.)␈α⊗In␈αthis␈αcase␈↓ εy␈ελM␈↓ π*␈εαis␈αthe␈α
time␈αneeded␈αto␈αdo␈α
12-place
␈β⊂∀␈↓ ∧
␈ε→d␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧3␈ε¬/12␈ε→␈α↓e
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αin␈αradix␈↓ β{␈εα2␈↓ ∧i␈εα,␈αand␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat␈↓ π+␈ελM␈↓ πZ␈εα=␈↓ λλ␈ελO␈↓ λ"␈εα(␈↓ λ.␈ελk␈↓ λ@␈εα)␈α
=␈↓ 	∧␈ελO␈↓ 	≡␈εα(␈↓ 	*␈εαlog␈↓ 	↑␈ελn␈↓ 	t␈εα)␈αbecause␈α1-
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαplace␈αm␈α␈ultiplication␈αcan␈αbe␈αdone␈αby␈αtable␈αlookup.
␈β⊂o␈↓ α␈εαSch␈↓ αD␈εα∪␈↓ αD␈εαo␈↓ αV␈εαnhage␈α∂disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂in␈α∂1979␈α∂that␈α∞a␈ε∂␈α∂poin␈α␈ter␈α∂machine␈εα␈α∂can␈α∂carry␈α∂out␈↓ 
←␈ελn␈↓ 
t␈εα-bit
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈αin␈↓ βX␈ελO␈↓ βr␈εα(␈↓ β}␈ελn␈↓ ∧∀␈εα)␈αsteps;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α12.␈αSuch␈αdevices␈α(which␈αare␈αalso␈αcalled
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα708␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα&␈↓ ↓H␈εα\storage␈α∞modi|cation␈α∞machines"␈α∞and␈α∞\linking␈α∂automata")␈α∞seem␈α∞to␈α∞pro␈α␈vide␈α∞the
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαbest␈α
models␈α
of␈α
computation␈α
when␈↓ ¬]␈ελn␈↓ ¬|␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈αas␈α
discussed␈α
at␈αthe␈α
end␈α
of␈α
Section␈α
2.6.
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαSo␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
conclude␈α∞that␈α∞m␈α␈ultiplication␈α
in␈↓ εo␈ελO␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελn␈↓ π+␈εα)␈α
steps␈α∞is␈α
possible␈α∞for␈α
theoretical
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαpurposes␈αas␈αw␈α␈ell␈αas␈αin␈αpractice.
␈ββv␈↓ ↓H␈ε∩D.␈α	Division.␈εα␈α∪No␈α␈w␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α
e}cien␈α␈t␈α	routines␈α	for␈α	m␈α␈ultiplication,␈α
let's␈α	consider
␈β∧!␈↓ ↓H␈εαthe␈αin␈α␈v␈α␈erse␈α
problem.␈α
It␈α
turns␈αout␈α
that␈α
division␈αcan␈α
be␈αperformed␈α
just␈αas␈α
fast␈αas
␈β∧L␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication,␈αex␈α␈cept␈αfor␈αa␈αconstan␈α␈t␈αfactor.
␈β∧y␈↓ α␈εαTo␈α∂divide␈α∞an␈↓ βi␈ελn␈↓ β␈␈εα-bit␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬J␈ελu␈↓ ¬n␈εαby␈α∂an␈↓ εY␈ελn␈↓ εo␈εα-bit␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ λ:␈ελv␈↓ λL␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∞may␈α∂|rst␈α∞|nd␈α∞an
␈β¬%␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓]␈εα-bit␈α∂appro␈α␈ximation␈α∞to␈α∂1/␈↓ ∧j␈ελv␈↓ ∧⎇␈εα,␈α∂then␈α∞m␈α␈ultiply␈α∂by␈↓ π4␈ελu␈↓ πY␈εαto␈α∞get␈α∂an␈α∞appro␈α␈ximation␈↓ 
m␈εα∂␈↓ 
n␈ελq␈↓ ␈εαto
␈β¬P␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα/␈↓ ↓o␈ελv␈↓ αα␈εα;␈α∩|nally,␈α∩w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂mak␈α␈e␈α⊂the␈α⊂sligh␈α␈t␈α⊂correction␈α⊃necessary␈α⊂to␈↓ 	%␈εα∂␈↓ 	&␈ελq␈↓ 	F␈εαto␈α⊂ensure␈α⊂that
␈β¬{␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α∀␈↓ α⊗␈ελu␈↓ α5␈ε⊗␈␈↓ αb␈ελq␈↓ αr␈ελv␈↓ β⊃␈εα<␈↓ βB␈ελv␈↓ βb␈εαby␈α
using␈α∞another␈α
m␈α␈ultiplication.␈α⊂From␈α∞this␈α
reasoning,␈α∞w␈α␈e␈α
see
␈βε&␈↓ ↓H␈εαthat␈αit␈αsu}ces␈αto␈αhav␈α␈e␈αan␈αe}cien␈α␈t␈αalgorithm␈αfor␈α
appro␈α␈ximating␈αthe␈αreciprocal␈αof
␈βεQ␈↓ ↓H␈εαan␈↓ ↓{␈ελn␈↓ α⊃␈εα-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈α⊂The␈α
follo␈α␈wing␈α∞algorithm␈α
does␈α
this,␈α∞using␈α
\Newton's␈α
method"
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εαas␈αexplained␈αat␈αthe␈αend␈αof␈αSection␈α4.3.1:
␈βπK␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
R␈εα␈α
(␈ε∂High-precision␈α∞reciprocal␈↓ ε/␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≤Let␈↓ π$␈ελv␈↓ πD␈εαhav␈α␈e␈α∞the␈α
binary␈α
represen␈α␈tation
␈βπv␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓e␈εα=␈α
(0.␈↓ α;␈ελv␈↓ αY␈ελv␈↓ αw␈ελv␈↓ β≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βL␈εα)␈↓ βf␈εα,␈αwhere␈↓ ∧d␈ελv␈↓ ¬
␈εα=␈α
1.␈α
This␈αalgorithm␈αcomputes␈αan␈αappro␈α␈ximation␈↓ ≥␈ελz
␈βλβ␈↓ αK␈ε¬1␈↓ αi␈ε¬2␈↓ βπ␈ε¬3␈↓ βX␈ε¬2␈↓ ∧t␈ε¬1
␈βλ!␈↓ ↓H␈εαto␈α1/␈↓ α_␈ελv␈↓ α*␈εα,␈αsuch␈αthat
␈βλL␈↓ π
␈ε→␈␈↓ π&␈εn
␈βλR␈↓ ¬2␈ε⊗j␈↓ ¬<␈ελz␈↓ ¬S␈ε⊗␈␈εα␈αλ1/␈↓ ε#␈ελv␈↓ ε6␈ε⊗j␈α
∀␈↓ εx␈εα2␈↓ π8␈εα.␈↓ 
p␈εα(43)
␈β	+␈↓ ε≠␈ε¬1
␈β	.␈↓ ↓I␈ε∩R1.␈↓ α␈εα[Initial␈αappro␈α␈ximation.]␈α→Set␈↓ ¬P␈ελz␈↓ ¬i␈ε⊗ ␈↓ ε.␈ε⊗b␈εα32/(4␈↓ π⊂␈ελv␈↓ π6␈εα+␈αλ2␈↓ πt␈ελv␈↓ λ~␈εα+␈↓ λF␈ελv␈↓ λd␈εα)␈ε⊗c␈εα␈αand␈↓ 	P␈ελk␈↓ 	l␈ε⊗ ␈εα␈α
0.
␈β	<␈↓ π∨␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬2␈↓ λV␈ε¬3
␈β	?␈↓ ε≠␈∧	?ε≠α∂
␈β	A␈↓ ε≠␈ε¬4
␈β	l␈↓ ↓I␈ε∩R2.␈↓ α␈εα[Newtonian␈α⊂iteration.]␈α!(At␈α⊃this␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂w␈α␈e␈α⊃hav␈α␈e␈α⊂a␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	7␈ελz␈↓ 	V␈εαof␈α⊂the␈α⊂binary
␈β
∩␈↓ ¬#␈εk
␈β
↔␈↓ α␈εαform␈α⊂(␈↓ αr␈ελx␈↓ β¬␈ελx␈↓ β_␈εα.␈↓ β"␈ελx␈↓ β5␈ελx␈↓ βM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β⎇␈ελx␈↓ ∧⊂␈εα)␈↓ ∧;␈εαwith␈↓ ¬⊃␈εα2␈↓ ¬<␈εα+␈α1␈α⊂places␈α⊂after␈α⊂the␈α⊂radix␈α⊂poin␈α␈t,␈α∩and␈↓ 
0␈ελz␈↓ 
P␈ε⊗∀␈εα␈α⊂2.)
␈β
%␈↓ ∧≤␈ε¬2
␈β
=␈↓ βC␈ε¬2
␈β
B␈↓ α␈εαCalculate␈↓ β4␈ελz␈↓ βd␈εα=␈α∪(␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧:␈ελx␈↓ ∧M␈ελx␈↓ ∧`␈εα.␈↓ ∧j␈ελx␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈ελx␈↓ ¬X␈εα)␈↓ ε∧␈εαexactly,␈α∪using␈α⊃a␈α∩high-speed␈α⊃m␈α␈ultiplication
␈β
P␈↓ ¬d␈ε¬2
␈β
h␈↓ ¬8␈ε¬2
␈β
n␈↓ α␈εαroutine.␈αThen␈αcalculate␈↓ ¬α␈ελV␈↓ ¬)␈ελz␈↓ ¬Q␈εαexactly,␈αwhere␈↓ π>␈ελV␈↓ πk␈εα=␈α
(0.␈↓ λA␈ελv␈↓ λ←␈ελv␈↓ 	β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	3␈ελv␈↓ 
+␈εα)␈↓ 
E␈εα.␈αThen
␈β
z␈↓ 	Q␈ε
k␈↓ 	↑␈επ+␈α␈1
␈β
{␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ πR␈εk␈↓ λP␈ε¬1␈↓ λo␈ε¬2␈↓ 
7␈ε¬2
␈β
|␈↓ 	C␈ε¬2␈↓ 	␈␈ε¬+3
␈β⊗␈↓ πO␈ε
k␈↓ π[␈επ+1
␈β~␈↓ ∧∨␈ε¬2␈↓ π$␈ε→␈␈↓ πA␈ε¬2␈↓ π⎇␈ε→␈␈ε¬1
␈β∨␈↓ α␈εαset␈↓ αF␈ελz␈↓ αa␈ε⊗ ␈εα␈α
2␈↓ β$␈ελz␈↓ β<␈ε⊗␈␈↓ βi␈ελV␈↓ ∧⊂␈ελz␈↓ ∧7␈εα+␈↓ ∧d␈ελr␈↓ ∧t␈εα,␈α∞where␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εE␈ελr␈↓ εa␈εα<␈↓ π∩␈εα2␈↓ λ6␈εαis␈α∞added␈α
if␈α∞necessary␈α
to
␈β,␈↓ β⎇␈εk
␈βB␈↓ π;␈ε
k␈↓ πH␈επ+␈α␈1
␈βE␈↓ π⊂␈ε→␈␈↓ π-␈ε¬2␈↓ πj␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βJ␈↓ α␈εα\round␈αup"␈↓ βL␈ελz␈↓ βg␈εαso␈αthat␈αit␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ε}␈εα2␈↓ λ∃␈εα.␈αFinally,␈αset␈↓ 	i␈ελk␈↓ 
∧␈ε⊗ ␈↓ 
2␈ελk␈↓ 
L␈εα+␈αλ1.
␈ββ␈↓ ∧P␈εk
␈βλ␈↓ ↓I␈ε∩R3.␈↓ α␈εα[Test␈α⊂for␈α⊃end.]␈α If␈↓ ∧>␈εα2␈↓ ∧o␈εα<␈↓ ¬$␈ελn␈↓ ¬:␈εα,␈α⊃go␈α⊃back␈α⊂to␈α⊂step␈α⊃R2;␈α∩otherwise␈α⊂the␈α⊂algorithm
␈β3␈↓ α␈εαterminates.
␈β8␈↓ βd␈∧8βd≠∂
␈β
↓␈↓ α␈εαThis␈α∂algorithm␈α∞is␈α∂based␈α∞on␈α∂a␈α∞method␈α∂suggested␈α∂by␈α∞S.␈α∂A.␈α∞Cook.␈α∀A␈α∞similar
␈β
,␈↓ ↓H␈εαtechnique␈αεhas␈απbeen␈απused␈αεin␈απcomputer␈απhardware␈αε[see␈απAnderson,␈αλEarle,␈απGoldschmidt,
␈β
W␈↓ ↓H␈εαand␈α∞Po␈α␈w␈α␈ers,␈ε∂␈α⊂IBM␈α∞J.␈α∂Res.␈α∞Dev.␈ε∩␈α∂11␈εα␈α∂(1967),␈α∂48↑52].␈α∀Of␈α∞course,␈α⊂it␈α∞is␈α∂necessary␈α∞to
␈β∞β␈↓ ↓H␈εαcheck␈α
the␈αaccuracy␈α
of␈α
Algorithm␈α
R␈α
quite␈α
carefully,␈α
because␈α
it␈α
comes␈α
v␈α␈ery␈αclose
␈β∞.␈↓ ↓H␈εαto␈αbeing␈αinaccurate.␈αWe␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αby␈αinduction␈αthat
␈β∂␈↓ λG␈ε
k
␈β∂∧␈↓ λ≤␈ε→␈␈↓ λ8␈ε¬2
␈β∂
␈↓ ∧!␈ελz␈↓ ∧:␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ ¬B␈εαand␈↓ εD␈ε⊗j␈↓ εN␈ελz␈↓ εe␈ε⊗␈␈εα␈αλ1/␈↓ π5␈ελv␈↓ πH␈ε⊗j␈α
∀␈↓ λ
␈εα2␈↓ 
p␈εα(44)
␈β∂f␈↓ ↓H␈εαat␈αthe␈αbeginning␈αand␈αend␈αof␈αstep␈αR2.
␈β⊂∪␈↓ α␈εαFor␈αλthis␈α	purpose,␈α	let␈↓ ∧M␈ελ∞␈↓ ∧r␈εα=␈α
1/␈↓ ¬D␈ελv␈↓ ¬Z␈ε⊗␈␈↓ ε↓␈ελz␈↓ ε≤␈εα,␈α	where␈↓ π∀␈ελz␈↓ π7␈εαis␈αλthe␈αλvalue␈α	of␈↓ 	∀␈ελz␈↓ 	,␈εαafter␈↓ 	}␈ελk␈↓ 
_␈εαiterations
␈β⊂ ␈↓ ∧Z␈εk␈↓ ε
␈εk␈↓ π ␈εk
␈β⊂>␈↓ ↓H␈εαof␈αstep␈αR2.␈αTo␈αstart␈αthe␈αinduction␈αon␈↓ ε∨␈ελk␈↓ ε0␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β⊃∀␈↓ ¬&␈ε→0␈↓ ε6␈ε→0␈↓ πH␈ε→0
␈β⊃~␈↓ β1␈ελ∞␈↓ βV␈εα=␈α
1/␈↓ ∧(␈ελv␈↓ ∧C␈ε⊗␈␈εα␈αλ8/␈↓ ¬∪␈ελv␈↓ ¬5␈εα+␈↓ ¬a␈εα(32/␈↓ ε#␈ελv␈↓ εE␈ε⊗␈␈αλb␈εα32/␈↓ π5␈ελv␈↓ πO␈ε⊗c␈εα)/4␈↓ λ↔␈εα=␈↓ λE␈ελ⊃␈↓ λm␈εα+␈↓ 	→␈ελ⊃␈↓ 	:␈εα,
␈β⊃(␈↓ β>␈ε¬0␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	+␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα709
␈βα∨␈↓ αE␈ε→0␈↓ ¬a␈ε→0␈↓ πλ␈ε→0
␈βα!␈↓ λN␈ε¬1
␈βα$␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α2␈ελv␈↓ αZ␈εα=␈α
(␈↓ β↔␈ελv␈↓ β6␈ελv␈↓ βT␈ελv␈↓ βr␈εα)␈↓ ∧≠␈εαand␈↓ ∧c␈ελ⊃␈↓ ¬⊃␈εα=␈α∞(␈↓ ¬O␈ελv␈↓ ¬r␈ε⊗␈␈εα␈α
8␈↓ ε2␈ελv␈↓ εD␈εα)/␈↓ εb␈ελv␈↓ εu␈ελv␈↓ π∂␈εα,␈α∂so␈α∞that␈ε⊗␈α∞␈␈↓ λo␈εα<␈↓ 	 ␈ελ⊃␈↓ 	N␈ε⊗∀␈εα␈α∞0␈α∞and␈α∂0␈ε⊗␈α
∀
␈βα2␈↓ β'␈ε¬1␈↓ βE␈ε¬2␈↓ βc␈ε¬3␈↓ β}␈ε¬2␈↓ ∧u␈ε¬1␈↓ 	2␈ε¬1
␈βα5␈↓ λN␈∧α5λNα∂
␈βα7␈↓ λN␈ε¬2
␈βαL␈↓ α$␈ε¬1␈↓ ∧"␈ε¬1
␈βαP␈↓ ↓H␈ελ⊃␈↓ ↓r␈εα<␈↓ α6␈εα.␈αHence␈ε⊗␈αj␈↓ β@␈ελ∞␈↓ β\␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ ∧4␈εα.␈αNo␈α␈w␈αsuppose␈αthat␈α(44)␈αhas␈αbeen␈αv␈α␈eri|ed␈αfor␈↓ 
∧␈ελk␈↓ 
⊗␈εα;␈αthen
␈βα]␈↓ ↓Z␈ε¬2␈↓ βM␈ε¬0
␈βα`␈↓ α$␈∧α`α$α∂␈↓ ∧"␈∧α`∧"α∂
␈βαb␈↓ α$␈ε¬4␈↓ ∧"␈ε¬2
␈ββ≡␈↓ αm␈ελ∞␈↓ β>␈εα=␈α
1/␈↓ ∧⊂␈ελv␈↓ ∧+␈ε⊗␈␈↓ ∧W␈ελz␈↓ ¬&␈εα=␈α
1/␈↓ ¬x␈ελv␈↓ ε∪␈ε⊗␈␈↓ ε?␈ελz␈↓ εb␈ε⊗␈␈↓ π∞␈ελz␈↓ π(␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πz␈ελz␈↓ λ∃␈ελV␈↓ λ7␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λw␈ελr
␈ββ,␈↓ αz␈εk␈↓ β	␈ε¬+␈α␈1␈↓ ∧c␈εk␈↓ ∧q␈ε¬+1␈↓ εK␈εk␈↓ π~␈εk␈↓ λε␈εk␈↓ λ)␈εk
␈ββK␈↓ λ
␈ε¬2
␈ββQ␈↓ ¬&␈εα=␈↓ ¬T␈ελ∞␈↓ ¬x␈ε⊗␈␈↓ ε$␈ελz␈↓ ε>␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π⊂␈ελz␈↓ π+␈ελv␈↓ π>␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π}␈ελz␈↓ λ≠␈εα(␈↓ λ'␈ελv␈↓ λB␈ε⊗␈␈↓ λn␈ελV␈↓ 	⊂␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	P␈ελr
␈ββ↑␈↓ ¬a␈εk␈↓ ε0␈εk␈↓ π≤␈εk␈↓ 	α␈εk
␈ββc␈↓ λ
␈εk
␈ββ⎇␈↓ λ3␈ε¬2
␈β∧β␈↓ ¬&␈εα=␈↓ ¬T␈ελ∞␈↓ ¬x␈ε⊗␈␈εα␈αλ(1/␈↓ εT␈ελv␈↓ εo␈ε⊗␈␈↓ π≠␈ελ∞␈↓ π6␈εα)␈↓ πB␈ελv␈↓ πU␈ελ∞␈↓ πx␈ε⊗␈␈↓ λ$␈ελz␈↓ λB␈εα(␈↓ λN␈ελv␈↓ λi␈ε⊗␈␈↓ 	∃␈ελV␈↓ 	7␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	w␈ελr
␈β∧⊃␈↓ ¬a␈εk␈↓ π(␈εk␈↓ πb␈εk␈↓ 	)␈εk
␈β∧∃␈↓ λ3␈εk
␈β∧/␈↓ ¬x␈ε¬2␈↓ εJ␈ε¬2
␈β∧6␈↓ ¬&␈εα=␈↓ ¬T␈ελv␈↓ ¬g␈ελ∞␈↓ ε∂␈ε⊗␈␈↓ ε;␈ελz␈↓ εX␈εα(␈↓ εd␈ελv␈↓ ε␈␈ε⊗␈␈↓ π+␈ελV␈↓ πN␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ∞␈ελr␈↓ λ≥␈εα.
␈β∧C␈↓ π?␈εk
␈β∧G␈↓ ¬x␈εk␈↓ εJ␈εk
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w
␈β¬#␈↓ ε{␈ε
k␈↓ λ↔␈ε
k␈↓ λ#␈επ+1
␈β¬&␈↓ ¬∪␈ε¬2␈↓ ¬k␈ε¬2␈↓ εO␈ε→␈␈↓ εl␈ε¬2␈↓ π∪␈ε¬2␈↓ πl␈ε→␈␈↓ λλ␈ε¬2
␈β¬,␈↓ ∧%␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧o␈ελv␈↓ ¬α␈ελ∞␈↓ ¬,␈εα<␈↓ ¬Z␈ελ∞␈↓ εβ␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ ε=␈εα2␈↓ ππ␈εα)␈↓ π,␈εα=␈↓ πZ␈εα2␈↓ λE␈εα,
␈β¬>␈↓ ¬∪␈εk␈↓ ¬k␈εk
␈β¬n␈↓ ↓H␈εαand
␈βε⊂␈↓ ε+␈ε
k␈↓ ε8␈επ+␈α␈1␈↓ λα␈ε
k␈↓ λ∞␈επ+1␈↓ 	P␈ε
k␈↓ 	]␈επ+␈α␈1
␈βε∪␈↓ βD␈ε¬2␈↓ ε␈ε→␈␈↓ ε≥␈ε¬2␈↓ εY␈ε→␈␈ε¬3␈↓ πW␈ε→␈␈↓ πs␈ε¬2␈↓ λ0␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	%␈ε→␈␈↓ 	B␈ε¬2
␈βε→␈↓ αk␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ β5␈ελz␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελv␈↓ βz␈ε⊗␈␈↓ ∧&␈ελV␈↓ ∧H␈εα)␈αλ+␈↓ ¬λ␈ελr␈↓ ¬"␈εα<␈α
4(␈↓ ¬n␈εα2␈↓ π¬␈εα)␈αλ+␈↓ πE␈εα2␈↓ λe␈εα=␈↓ 	∪␈εα2␈↓ 	␈␈εα,
␈βε'␈↓ ∧:␈εk
␈βεS␈↓ βR␈ε
k␈↓ β↑␈επ+1
␈βεV␈↓ β&␈ε→␈␈↓ βC␈ε¬2
␈βε[␈↓ ↓H␈εαso␈ε⊗␈α∂j␈↓ α↓␈ελ∞␈↓ αH␈ε⊗j␈α∂∀␈↓ β∀␈εα2␈↓ ∧␈εα.␈α⊗We␈α∂m␈α␈ust␈α∂still␈α∂v␈α␈erify␈α∂the␈α⊂|rst␈α∂inequality␈α∂of␈α∂(44);␈α⊃to␈α∂sho␈α␈w
␈βεi␈↓ α∞␈εk␈↓ α≤␈ε¬+1
␈βπβ␈↓ π\␈ε¬1
␈βπε␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α_␈ελz␈↓ αl␈ε⊗∀␈εα␈α∂2,␈α∂there␈α∂are␈α∞three␈α∂cases:␈α≡(a)␈↓ εt␈ελV␈↓ π%␈εα=␈↓ πn␈εα;␈α⊂then␈↓ λ]␈ελz␈↓ 	1␈εα=␈α∞2.␈α≡(b)␈↓ 
X␈ελV␈↓ λ␈ε⊗≤
␈βπ∀␈↓ α$␈εk␈↓ α3␈ε¬+1␈↓ πλ␈εk␈↓ λi␈εk␈↓ λw␈ε¬+1␈↓ 
l␈εk
␈βπ↔␈↓ π\␈∧π↔π\α∂
␈βπ→␈↓ π\␈ε¬2
␈βπ.␈↓ πs␈ε
k␈↓ λ␈επ+␈α␈1
␈βπ2␈↓ ¬⎇␈ε¬2␈↓ πH␈ε→␈␈↓ πe␈ε¬2␈↓ λ"␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπ4␈↓ ↓L␈ε¬1␈↓ 
;␈ε¬1
␈βπ7␈↓ ↓l␈εα=␈↓ α≥␈ελV␈↓ αk␈εα;␈α∂then␈↓ βX␈ελz␈↓ ∧␈εα=␈α∞2,␈α∂so␈α∞2␈↓ ¬≥␈ελz␈↓ ¬A␈ε⊗␈␈↓ ¬n␈ελz␈↓ ε␈ελV␈↓ ε<␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈ε⊗␈α
␈␈↓ π6␈εα2␈↓ λM␈εα.␈α≥(c)␈↓ 	*␈ελV␈↓ 
¬␈ε⊗≤␈↓ 
M␈εα;␈α∂then
␈βπD␈↓ α1␈εk␈↓ α@␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ βd␈εk␈↓ ¬)␈εk␈↓ ε ␈εk␈↓ 	>␈εk␈↓ 	M␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπG␈↓ ↓L␈∧πG↓Lα∂␈↓ 
;␈∧πG
;α∂
␈βπI␈↓ ¬⎇␈εk
␈βπJ␈↓ ↓L␈ε¬2␈↓ 
;␈ε¬2
␈βπ←␈↓ ¬2␈ε
k␈↓ ¬?␈επ+␈α␈1
␈βπb␈↓ ¬π␈ε→␈␈↓ ¬$␈ε¬2
␈βπg␈↓ ↓H␈ελz␈↓ α↔␈εα=␈α
1/␈↓ αi␈ελv␈↓ β∧␈ε⊗␈␈↓ β0␈ελ∞␈↓ ∧↓␈εα<␈α
2␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬j␈ε⊗∀␈εα␈α
2,␈αsince␈↓ π_␈ελk␈↓ π4␈εα>␈α
0.
␈βπu␈↓ ↓T␈εk␈↓ ↓b␈ε¬+1␈↓ β=␈εk␈↓ βL␈ε¬+␈α␈1
␈βλ∩␈↓ α␈εαThe␈αrunning␈αtime␈αof␈αAlgorithm␈αR␈αis␈αbounded␈αby
␈βλ`␈↓ π6␈ε¬1
␈βλc␈↓ β0␈εα2␈↓ βB␈ελT␈↓ β[␈εα(4␈↓ βy␈ελn␈↓ ∧∂␈εα)␈αλ+␈αλ2␈↓ ∧a␈ελT␈↓ ∧z␈εα(2␈↓ ¬_␈ελn␈↓ ¬.␈εα)␈αλ+␈αλ2␈↓ ε␈ελT␈↓ ε→␈εα(␈↓ ε%␈ελn␈↓ ε;␈εα)␈αλ+␈αλ2␈↓ π
␈ελT␈↓ π&␈εα(␈↓ πI␈ελn␈↓ π↑␈εα)␈αλ+␈↓ λ≡␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λP␈εα+␈↓ λ|␈ελO␈↓ 	⊗␈εα(␈↓ 	"␈ελn␈↓ 	8␈εα)
␈βλs␈↓ π6␈∧λsπ6α∂
␈βλv␈↓ π6␈ε¬2
␈β	3␈↓ ↓H␈εαsteps,␈α
where␈↓ β∃␈ελT␈↓ β/␈εα(␈↓ β;␈ελn␈↓ βP␈εα)␈α
is␈α
an␈α
upper␈αbound␈α
on␈α
the␈α
time␈αneeded␈α
to␈α
do␈α
a␈αm␈α␈ultiplication
␈β	←␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓v␈ελn␈↓ α␈εα-bit␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers.␈α~When␈↓ ∧i␈ελT␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελn␈↓ ¬$␈εα)␈α⊃=␈↓ ¬w␈ελn␈↓ ε␈ελf␈↓ ε≡␈εα(␈↓ ε*␈ελn␈↓ ε?␈εα)␈α⊃for␈α⊂an␈α␈y␈α⊃monotonically␈α⊂nondecreasing
␈β

␈↓ ↓H␈εαfunction␈↓ αV␈ελf␈↓ αg␈εα(␈↓ αs␈ελn␈↓ β	␈εα),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
Z␈↓ ∧
␈ελT␈↓ ∧&␈εα(4␈↓ ∧D␈ελn␈↓ ∧Z␈εα)␈αλ+␈↓ ¬~␈ελT␈↓ ¬3␈εα(2␈↓ ¬Q␈ελn␈↓ ¬g␈εα)␈αλ+␈↓ ε'␈ελT␈↓ ε@␈εα(␈↓ εL␈ελn␈↓ εb␈εα)␈αλ+␈↓ π"␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πV␈εα<␈↓ λ∧␈ελT␈↓ λ≥␈εα(8␈↓ λ;␈ελn␈↓ λQ␈εα),
␈β+␈↓ ↓H␈εαso␈α
division␈α
can␈α
be␈αdone␈α
with␈α
a␈α
speed␈α
comparable␈αto␈α
that␈α
of␈α
m␈α␈ultiplication␈α
ex␈α␈cept
␈βV␈↓ ↓H␈εαfor␈αa␈αconstan␈α␈t␈αfactor.
␈β↓␈↓ α␈εαR.␈αP.␈αBren␈α␈t␈α
has␈αsho␈α␈wn␈αthat␈αfunctions␈α
such␈αas␈↓ πc␈εαlog␈↓ λ↔␈ελx␈↓ λ*␈εα,␈↓ λ@␈εαexp␈↓ λ}␈ελx␈↓ 	⊃␈εα,␈αand␈↓ 	m␈εαarctan␈↓ 
W␈ελx␈↓ 
v␈εαcan
␈β
␈↓ ε&␈ε↓␈␈↓ πW␈ε↓↓
␈β,␈↓ ↓H␈εαbe␈α
evaluated␈α
to␈↓ βK␈ελn␈↓ βn␈εαsigni|can␈α␈t␈α
bits␈α
in␈↓ ε␈ελO␈↓ ε4␈ελM␈↓ εZ␈εα(␈↓ εf␈ελn␈↓ ε|␈εα)␈↓ π∞␈εαlog␈↓ πB␈ελn␈↓ πr␈εαsteps,␈α∞if␈α
it␈α
tak␈α␈es␈↓ 	}␈ελM␈↓ 
$␈εα(␈↓ 
0␈ελn␈↓ 
E␈εα)␈α
units
␈βW␈↓ ↓H␈εαof␈αtime␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ ∧↓␈ελn␈↓ ∧⊗␈εα-bit␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α23␈εα␈α(1976),␈α242↑251].
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε∩E.␈α	An␈α	ev␈α␈en␈α	faster␈α	m␈α␈ultiplication␈α	method.␈εα␈α∩It␈α	is␈α	natural␈αλto␈α	w␈α␈onder␈α	if␈α	m␈α␈ultiplication
␈β
A␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓q␈ελn␈↓ αε␈εα-bit␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αcan␈αbe␈αaccomplished␈αin␈αjust␈↓ π∪␈ελn␈↓ π4␈εαsteps.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈αcome␈αfrom␈αorder
␈β
g␈↓ ↓]␈ε¬2
␈β
l␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓v␈εαdo␈α␈wn␈α	to␈α
order␈↓ βX␈ελn␈↓ βn␈εα,␈α
so␈α
perhaps␈α
w␈α␈e␈α	can␈α
squeeze␈α
the␈α
time␈α
do␈α␈wn␈α
ev␈α␈en␈α	more.␈αIn␈α	fact,
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈α
actually␈α
possible␈α
to␈α
output␈α
the␈α
answ␈α␈er␈αas␈α
fast␈α
as␈α
w␈α␈e␈α
input␈α
the␈α
digits,␈α
if␈αw␈α␈e
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαleav␈α␈e␈αthe␈αdomain␈αof␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈αcomputer␈αprogramming␈αand␈αallo␈α␈w␈αourselv␈α␈es␈αto
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαbuild␈α	a␈α	computer␈α
that␈α	has␈α	an␈α
unlimited␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	componen␈α␈ts␈α	all␈α
acting␈α	at␈α	once.
␈β∂→␈↓ α␈εαA␈ε∂␈αlinear␈αiterativ␈α␈e␈αarray␈εα␈αof␈αautomata␈αis␈αa␈αset␈αof␈αdevices␈↓ λl␈ελM␈↓ 	→␈εα,␈↓ 	/␈ελM␈↓ 	\␈εα,␈↓ 	r␈ελM␈↓ 
∨␈εα,␈↓ 
5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
j␈εαthat
␈β∂&␈↓ 	␈ε¬1␈↓ 	N␈ε¬2␈↓ 
⊃␈ε¬3
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαcan␈αλeach␈αλbe␈α	in␈αλa␈α	|nite␈αλset␈αλof␈α	\states"␈αλat␈α	each␈αλstep␈αλof␈α	a␈αλcomputation.␈αThe␈αλmachines
␈β∂o␈↓ ↓H␈ελM␈↓ ↓u␈εα,␈↓ α	␈ελM␈↓ α7␈εα,␈↓ αK␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α␈␈εαall␈α
hav␈α␈e␈ε∂␈αiden␈α␈tical␈εα␈α
circuitry,␈α
and␈α
their␈α
state␈α
at␈α
time␈↓ 	∀␈ελt␈↓ 	'␈εα+␈α¬1␈α
is␈α
a␈α
function
␈β∂⎇␈↓ ↓g␈ε¬2␈↓ α(␈ε¬3
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαof␈αtheir␈αo␈α␈wn␈αstate␈αat␈αtime␈↓ ∧d␈ελt␈↓ ∧⎇␈εαas␈αw␈α␈ell␈αas␈αthe␈αstates␈αof␈αtheir␈αleft␈αand␈αrigh␈α␈t␈αneigh␈α␈bors
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαat␈αtime␈↓ αG␈ελt␈↓ αT␈εα.␈α∞The␈α
|rst␈α
machine␈↓ ¬⊃␈ελM␈↓ ¬K␈εαis␈α
sligh␈α␈tly␈αdi{eren␈α␈t:␈α∞its␈α
state␈αat␈α
time␈↓ 
∃␈ελt␈↓ 
*␈εα+␈α	1␈α
is␈αa
␈β⊂S␈↓ ¬0␈ε¬1
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαfunction␈αof␈αits␈α
o␈α␈wn␈αstate␈αand␈αthat␈αof␈↓ ε
␈ελM␈↓ ε8␈εα,␈αat␈αtime␈↓ πI␈ελt␈↓ πV␈εα,␈αand␈αalso␈αof␈αthe␈ε∂␈αinput␈εα␈αat␈α
time
␈β⊂}␈↓ ε)␈ε¬2
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓U␈εα.␈αThe␈ε∂␈α
output␈εα␈α
of␈α
a␈αlinear␈α
iterativ␈α␈e␈α
array␈α
is␈α
a␈α
function␈α
de|ned␈αon␈α
the␈α
states␈α
of␈↓ 
u␈ελM␈↓ "␈εα.
␈β⊃)␈↓ ∀␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα710␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα&␈↓ α␈εαLet␈↓ αP␈ελu␈↓ αt␈εα=␈α∞(␈↓ β2␈ελu␈↓ ∧
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ¬␈εα)␈↓ ¬~␈εα,␈↓ ¬3␈ελv␈↓ ¬T␈εα=␈α∞(␈↓ ε∩␈ελv␈↓ εe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈ελv␈↓ π3␈ελv␈↓ πQ␈εα)␈↓ πk␈εα,␈α∂and␈↓ λM␈ελq␈↓ λk␈εα=␈α∞(␈↓ 	)␈ελq␈↓ 	y␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
)␈ελq␈↓ 
D␈ελq␈↓ 
`␈εα)␈↓ λ␈εαbe
␈βα4␈↓ βG␈εn␈↓ βX␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧N␈ε¬1␈↓ ∧q␈ε¬0␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ε!␈εn␈↓ ε3␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π$␈ε¬1␈↓ πC␈ε¬0␈↓ π]␈ε¬2␈↓ 	6␈εn␈↓ 	H␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
6␈ε¬1␈↓ 
Q␈ε¬0␈↓ 
l␈ε¬2
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαbinary␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αand␈αlet␈↓ ∧N␈ελu␈↓ ∧d␈ελv␈↓ ∧␈␈εα+␈↓ ¬+␈ελq␈↓ ¬F␈εα=␈↓ ¬t␈ελw␈↓ ε→␈εα=␈α
(␈↓ εS␈ελw␈↓ π=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πm␈ελw␈↓ λ∪␈ελw␈↓ λ9␈εα)␈↓ λS␈εα.␈α
It␈αis␈αremarkable␈αfact
␈βα←␈↓ εk␈ε¬2␈↓ εy␈εn␈↓ π␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬1␈↓ λ+␈ε¬0␈↓ λE␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthat␈απa␈αλlinear␈αλiterativ␈α␈e␈αλarray␈αλcan␈απbe␈αλconstructed,␈α	independen␈α␈t␈αλof␈↓ 	⊃␈ελn␈↓ 	&␈εα,␈α	that␈αλwill␈απoutput
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓n␈εα,␈↓ αβ␈ελw␈↓ α)␈εα,␈↓ α?␈ελw␈↓ αe␈εα,␈↓ αz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εαat␈αtimes␈α1,␈α2,␈α3,␈↓ ¬/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬←␈εα,␈αif␈αit␈αis␈αgiv␈α␈en␈αthe␈αinputs␈α(␈↓ λp␈ελu␈↓ 	∪␈εα,␈↓ 	#␈ελv␈↓ 	A␈εα,␈↓ 	Q␈ελq␈↓ 	m␈εα),␈α(␈↓ 
~␈ελu␈↓ 
=␈εα,␈↓ 
M␈ελv␈↓ 
k␈εα,␈↓ 
{␈ελq␈↓ ⊗␈εα),
␈ββ5␈↓ ↓←␈ε¬0␈↓ α≠␈ε¬1␈↓ αV␈ε¬2␈↓ 	¬␈ε¬0␈↓ 	3␈ε¬0␈↓ 	↑␈ε¬0␈↓ 
.␈ε¬1␈↓ 
]␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1
␈ββS␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈ελv␈↓ α%␈εα,␈↓ α5␈ελq␈↓ αP␈εα),␈↓ αr␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β(␈εαat␈αtimes␈α0,␈α1,␈α2,␈↓ ¬,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈εα.
␈ββ`␈↓ ↓h␈ε¬2␈↓ α⊗␈ε¬2␈↓ αB␈ε¬2
␈ββ␈␈↓ α␈εαWe␈α∞can␈α∞state␈α∞this␈α∞phenomenon␈α∞in␈α∞the␈α∞language␈α∞of␈α∞computer␈α∞hardware,␈α∞by
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαsaying␈αthat␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αdesign␈αa␈αsingle␈α\in␈α␈tegrated␈αcircuit␈αmodule"␈αwith␈αthe
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈α∞property:␈α∩If␈α∞w␈α␈e␈α∂wire␈α∂together␈α∞su}cien␈α␈tly␈α∂man␈α␈y␈α∂of␈α∞these␈α∂devices␈α∂in␈α∞a
␈β¬␈↓ ↓H␈εαstraigh␈α␈t␈α	line,␈α
with␈α
each␈α
module␈α	comm␈α␈unicating␈α
only␈α	with␈α
its␈α
left␈α	and␈α
righ␈α␈t␈α	neigh-
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαbors,␈αthe␈αresulting␈αcircuitry␈αwill␈αproduce␈αthe␈α2␈↓ π≥␈ελn␈↓ π3␈εα-bit␈αproduct␈αof␈↓ 	&␈ελn␈↓ 	;␈εα-bit␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαexactly␈α2␈↓ αX␈ελn␈↓ αy␈εαclock␈αpulses.
␈βεα␈↓ α␈εαHere␈α	is␈α	the␈α
basic␈α	idea␈α	behind␈α	this␈α	construction:␈αAt␈α	time␈α	0,␈α
machine␈↓ 
_␈ελM␈↓ 
N␈εαsenses
␈βε∂␈↓ 
7␈ε¬1
␈βε-␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈ελv␈↓ α%␈εα,␈↓ α5␈ελq␈↓ αP␈εα)␈α∞and␈α∂it␈α∞therefore␈α∞is␈α∞able␈α∞to␈α∂output␈α∞(␈↓ π~␈ελu␈↓ π=␈ελv␈↓ πd␈εα+␈↓ λ∩␈ελq␈↓ λ-␈εα)␈↓ λ?␈εαmod␈↓ 		␈εα2␈α∞at␈α∂time␈α∞1.␈α∩Then
␈βε;␈↓ ↓h␈ε¬0␈↓ α⊗␈ε¬0␈↓ αB␈ε¬0␈↓ π.␈ε¬0␈↓ πM␈ε¬0␈↓ λ∨␈ε¬0
␈βεX␈↓ ↓H␈εαit␈α∞sees␈α∂(␈↓ αE␈ελu␈↓ αh␈εα,␈↓ αx␈ελv␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈ελq␈↓ βA␈εα)␈α∂and␈α∞it␈α∂can␈α∞output␈α∂(␈↓ ε∀␈ελu␈↓ ε7␈ελv␈↓ ε←␈εα+␈↓ π
␈ελu␈↓ π/␈ελv␈↓ πW␈εα+␈↓ λ¬␈ελq␈↓ λ*␈εα+␈↓ λX␈ελk␈↓ λv␈εα)␈↓ 	λ␈εαmod␈↓ 	R␈εα2,␈α∂where␈↓ 
h␈ελk␈↓ ∀␈εαis
␈βεf␈↓ αY␈ε¬1␈↓ βπ␈ε¬1␈↓ β3␈ε¬1␈↓ ε)␈ε¬0␈↓ εG␈ε¬1␈↓ π!␈ε¬1␈↓ π?␈ε¬0␈↓ λ∩␈ε¬1␈↓ λh␈ε¬1␈↓ 
x␈ε¬1
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εαthe␈α
\carry"␈α∞left␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞from␈α
the␈α∞previous␈α∞step,␈α∞at␈α∞time␈α
2.␈α∩Next␈α
it␈α∞sees␈α∞(␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
G␈εα,␈↓ 
W␈ελv␈↓ 
u␈εα,␈↓ ¬␈ελq␈↓  ␈εα)
␈βπ⊃␈↓ 
8␈ε¬2␈↓ 
g␈ε¬2␈↓ ∩␈ε¬2
␈βπ/␈↓ ↓H␈εαand␈αoutputs␈α(␈↓ β≤␈ελu␈↓ β?␈ελv␈↓ βd␈εα+␈↓ ∧∂␈ελu␈↓ ∧2␈ελv␈↓ ∧W␈εα+␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬$␈ελv␈↓ ¬I␈εα+␈↓ ¬t␈ελq␈↓ ε⊗␈εα+␈↓ εA␈ελk␈↓ ε`␈εα)␈↓ εr␈εαmod␈↓ π<␈εα2;␈αfurthermore,␈αits␈αstate␈αrecords
␈βπ<␈↓ β0␈ε¬0␈↓ βO␈ε¬2␈↓ ∧#␈ε¬1␈↓ ∧A␈ε¬1␈↓ ¬⊗␈ε¬2␈↓ ¬4␈ε¬0␈↓ ε↓␈ε¬2␈↓ εQ␈ε¬2
␈βπZ␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞values␈α∂of␈↓ β%␈ελu␈↓ βW␈εαand␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧L␈εαso␈α∞that␈α∂machine␈↓ ε[␈ελM␈↓ π↔␈εαwill␈α∂be␈α∞able␈α∂to␈α∞sense␈α∂these␈α∞values
␈βπg␈↓ β:␈ε¬2␈↓ ∧/␈ε¬2␈↓ εz␈ε¬2
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εαat␈αtime␈α
3,␈α
and␈↓ β6␈ελM␈↓ βp␈εαwill␈α
be␈αable␈α
to␈α
compute␈↓ εq␈ελu␈↓ π∀␈ελv␈↓ π?␈εαfor␈αthe␈α
bene|t␈α
of␈↓ 	W␈ελM␈↓ 
⊃␈εαat␈α
time␈α4.
␈βλ∪␈↓ βU␈ε¬2␈↓ πε␈ε¬2␈↓ π$␈ε¬2␈↓ 	v␈ε¬1
␈βλ0␈↓ ↓H␈εαMachine␈↓ α[␈ελM␈↓ β↔␈εαessen␈α␈tially␈α∂arranges␈α∂to␈α∞start␈↓ εa␈ελM␈↓ π≡␈εαm␈α␈ultiplying␈α∂the␈α∞sequence␈α∂(␈↓ 
E␈ελu␈↓ 
h␈εα,␈↓ 
x␈ελv␈↓ ⊗␈εα),
␈βλ>␈↓ αz␈ε¬1␈↓ π␈ε¬2␈↓ 
Z␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬2
␈βλ\␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈ελv␈↓ α%␈εα),␈↓ αD␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αt␈εα,␈α	and␈↓ βI␈ελM␈↓ β}␈εαwill␈α	ultimately␈αλgiv␈α␈e␈↓ ε0␈ελM␈↓ εf␈εαthe␈αλjob␈αλof␈αλm␈α␈ultiplying␈αλ(␈↓ 	I␈ελu␈↓ 	l␈εα,␈↓ 	|␈ελv␈↓ 
~␈εα),␈α	(␈↓ 
E␈ελu␈↓ 
h␈εα,␈↓ 
x␈ελv␈↓ ⊗␈εα),
␈βλi␈↓ ↓h␈ε¬3␈↓ α⊗␈ε¬3␈↓ βh␈ε¬2␈↓ εO␈ε¬3␈↓ 	↑␈ε¬4␈↓ 
␈ε¬4␈↓ 
Z␈ε¬5␈↓ λ␈ε¬5
␈β	π␈↓ ↓H␈εαetc.␈αFortunately,␈α	things␈α
just␈α	w␈α␈ork␈α	out␈α	so␈α	that␈α	no␈α
time␈α	is␈α	lost.␈αThe␈α	reader␈α	will␈α	|nd
␈β	2␈↓ ↓H␈εαit␈αin␈α␈teresting␈αto␈αdeduce␈αfurther␈αdetails␈αfrom␈αthe␈αformal␈αdescription␈αthat␈αfollo␈α␈ws.
␈β	X␈↓ ∧n␈ε¬11
␈β	↑␈↓ α␈εαEach␈αautomaton␈αhas␈↓ ∧\␈εα2␈↓ ¬↔␈εαstates
␈β
5␈↓ ∧a␈εα(␈↓ ∧m␈ελc␈↓ ∧{␈εα,␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬*␈εα,␈↓ ¬:␈ελy␈↓ ¬Y␈εα,␈↓ ¬i␈ελx␈↓ ελ␈εα,␈↓ ε_␈ελy␈↓ ε7␈εα,␈↓ εG␈ελx␈↓ εZ␈εα,␈↓ εj␈ελy␈↓ ε}␈εα,␈↓ π∞␈ελz␈↓ π)␈εα,␈↓ π9␈ελz␈↓ πS␈εα,␈↓ πc␈ελz␈↓ π}␈εα),
␈β
B␈↓ ¬≠␈ε¬0␈↓ ¬K␈ε¬0␈↓ ¬z␈ε¬1␈↓ ε)␈ε¬1␈↓ π~␈ε¬2␈↓ πE␈ε¬1␈↓ πo␈ε¬0
␈β␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∂0␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ βλ␈ελc␈↓ β&␈εα<␈α∂4␈α⊂and␈α∂each␈α∂of␈α⊂the␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε≠␈εα's,␈↓ εM␈ελy␈↓ εa␈εα's,␈α⊂and␈↓ π]␈ελz␈↓ πl␈εα's␈α∂is␈α∂either␈α⊂0␈α∂or␈α∂1.␈α⊗Initially,
␈β7␈↓ ↓H␈εαall␈α
devices␈α
are␈α∞in␈α
state␈α∞(0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0).␈α⊂Suppose␈α
that␈α∞a␈α
machine␈↓ 
<␈ελM␈↓ 
i␈εα,␈α
for
␈βE␈↓ 
[␈εj
␈βc␈↓ ↓H␈ελj␈↓ ↓b␈εα>␈α
1,␈α	is␈αλin␈α	state␈αλ(␈↓ β\␈ελc␈↓ βj␈εα,␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧→␈εα,␈↓ ∧)␈ελy␈↓ ∧I␈εα,␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ∧x␈εα,␈↓ ¬λ␈ελy␈↓ ¬'␈εα,␈↓ ¬7␈ελx␈↓ ¬J␈εα,␈↓ ¬Z␈ελy␈↓ ¬n␈εα,␈↓ ¬}␈ελz␈↓ ε_␈εα,␈↓ ε(␈ελz␈↓ εC␈εα,␈↓ εS␈ελz␈↓ εm␈εα)␈α	at␈αλtime␈↓ πx␈ελt␈↓ λ¬␈εα,␈α	and␈α	its␈αλleft␈α	neigh␈α␈bor␈↓ 
U␈ελM
␈βp␈↓ ∧␈ε¬0␈↓ ∧:␈ε¬0␈↓ ∧i␈ε¬1␈↓ ¬→␈ε¬1␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ ε4␈ε¬1␈↓ ε←␈ε¬0␈↓ 
t␈εj␈↓ ↓␈ε→␈␈ε¬1
␈β	␈↓ β↓␈εl␈↓ β,␈εl␈↓ β↑␈εl␈↓ ∧∂␈εl␈↓ ∧B␈εl␈↓ ∧s␈εl␈↓ ¬∨␈εl␈↓ ¬F␈εl␈↓ ¬t␈εl␈↓ ε!␈εl
␈β∞␈↓ ↓H␈εαis␈α	in␈α
state␈α
(␈↓ αs␈ελc␈↓ β	␈εα,␈↓ β→␈ελx␈↓ β:␈εα,␈↓ βJ␈ελy␈↓ βm␈εα,␈↓ β⎇␈ελx␈↓ ∧≡␈εα,␈↓ ∧.␈ελy␈↓ ∧P␈εα,␈↓ ∧`␈ελx␈↓ ∧{␈εα,␈↓ ¬␈ελy␈↓ ¬'␈εα,␈↓ ¬7␈ελz␈↓ ¬U␈εα,␈↓ ¬e␈ελz␈↓ εα␈εα,␈↓ ε∩␈ελz␈↓ ε0␈εα)␈α	while␈α
its␈α
righ␈α␈t␈α	neigh␈α␈bor␈↓ 	6␈ελM␈↓ 
↔␈εαis␈α
in␈α	state
␈β≠␈↓ 	U␈εj␈↓ 	b␈ε¬+1
␈β ␈↓ β,␈ε¬0␈↓ β↑␈ε¬0␈↓ ∧∂␈ε¬1␈↓ ∧B␈ε¬1␈↓ ¬F␈ε¬2␈↓ ¬t␈ε¬1␈↓ ε!␈ε¬0
␈β4␈↓ ↓b␈εr␈↓ α∩␈εr␈↓ αD␈εr␈↓ αv␈εr␈↓ β(␈εr␈↓ βY␈εr␈↓ ∧␈εr␈↓ ∧7␈εr␈↓ ∧d␈εr␈↓ ¬∩␈εr
␈β9␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελc␈↓ ↓o␈εα,␈↓ ↓␈␈ελx␈↓ α ␈εα,␈↓ α0␈ελy␈↓ αS␈εα,␈↓ αc␈ελx␈↓ β∧␈εα,␈↓ β∀␈ελy␈↓ β6␈εα,␈↓ βF␈ελx␈↓ βg␈εα,␈↓ βw␈ελy␈↓ ∧_␈εα,␈↓ ∧(␈ελz␈↓ ∧E␈εα,␈↓ ∧U␈ελz␈↓ ∧s␈εα,␈↓ ¬β␈ελz␈↓ ¬ ␈εα)␈αat␈α
that␈α
time.␈αThen␈α
machine␈↓ λr␈ελM␈↓ 	(␈εαwill␈αgo␈α
in␈α␈to␈α
state
␈βF␈↓ 	⊃␈εj
␈βK␈↓ α∩␈ε¬0␈↓ αD␈ε¬0␈↓ αv␈ε¬1␈↓ β(␈ε¬1␈↓ ∧7␈ε¬2␈↓ ∧d␈ε¬1␈↓ ¬∩␈ε¬0
␈β←␈↓ ↓b␈ε→0␈↓ α␈ε→0␈↓ α>␈ε→0␈↓ αo␈ε→0␈↓ β"␈ε→0␈↓ βS␈ε→0␈↓ β}␈ε→0␈↓ ∧%␈ε→0␈↓ ∧R␈ε→0␈↓ ∧␈␈ε→0
␈βd␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελc␈↓ ↓i␈εα,␈↓ ↓y␈ελx␈↓ α~␈εα,␈↓ α*␈ελy␈↓ αM␈εα,␈↓ α]␈ελx␈↓ α}␈εα,␈↓ β∞␈ελy␈↓ β0␈εα,␈↓ β@␈ελx␈↓ βZ␈εα,␈↓ βj␈ελy␈↓ ∧ε␈εα,␈↓ ∧⊗␈ελz␈↓ ∧3␈εα,␈↓ ∧C␈ελz␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ∧p␈ελz␈↓ ¬∞␈εα)␈αat␈αtime␈↓ ε$␈ελt␈↓ ε9␈εα+␈αλ1,␈αwhere
␈βv␈↓ α␈ε¬0␈↓ α>␈ε¬0␈↓ αo␈ε¬1␈↓ β"␈ε¬1␈↓ ∧%␈ε¬2␈↓ ∧R␈ε¬1␈↓ ∧␈␈ε¬0
␈β
7␈↓ β≤␈ε→0␈↓ ε&␈εl
␈β
<␈↓ β
␈ελc␈↓ β-␈εα=␈↓ β[␈εαmin␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελc␈↓ ∧9␈εα+␈αλ1,␈αε3)␈↓ ¬v␈εαif␈↓ ε_␈ελc␈↓ ε8␈εα=␈α
3,␈↓ πJ␈εα0␈↓ λIotherwise;
␈β
j␈↓ βJ␈ε→0␈↓ β|␈ε→0␈↓ ∧n␈εl␈↓ ¬~␈εl
␈β
o␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βX␈εα,␈↓ βh␈ελy␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧!␈εα=␈α
(␈↓ ∧[␈ελx␈↓ ∧v␈εα,␈↓ ¬ε␈ελy␈↓ ¬"␈εα)␈↓ ¬v␈εαif␈↓ ε ␈ελc␈↓ ε8␈εα=␈α
0,␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πu␈εα,␈↓ λ¬␈ελy␈↓ λ%␈εα)␈α_otherwise;
␈β
|␈↓ πg␈ε¬0␈↓ λ⊗␈ε¬0
␈β∞↓␈↓ βJ␈ε¬0␈↓ β|␈ε¬0
␈β∞ε␈↓ 
p␈εα(45)
␈β∞≤␈↓ βJ␈ε→0␈↓ β|␈ε→0␈↓ ∧n␈εl␈↓ ¬~␈εl
␈β∞!␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βX␈εα,␈↓ βh␈ελy␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧!␈εα=␈α
(␈↓ ∧[␈ελx␈↓ ∧v␈εα,␈↓ ¬ε␈ελy␈↓ ¬"␈εα)␈↓ ¬v␈εαif␈↓ ε ␈ελc␈↓ ε8␈εα=␈α
1,␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πu␈εα,␈↓ λ¬␈ελy␈↓ λ%␈εα)␈α_otherwise;
␈β∞.␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ⊗␈ε¬1
␈β∞3␈↓ βJ␈ε¬1␈↓ β|␈ε¬1
␈β∞N␈↓ βX␈ε→0␈↓ ∧∧␈ε→0␈↓ ∧n␈εl␈↓ ¬~␈εl
␈β∞S␈↓ β9␈εα(␈↓ βE␈ελx␈↓ β←␈εα,␈↓ βo␈ελy␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧!␈εα=␈α
(␈↓ ∧[␈ελx␈↓ ∧v␈εα,␈↓ ¬ε␈ελy␈↓ ¬"␈εα)␈↓ ¬v␈εαif␈↓ ε ␈ελc␈↓ ε8␈ε⊗∃␈εα␈α
2,␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα,␈↓ πy␈ελy␈↓ λ
␈εα)␈α0otherwise;
␈β∂"␈↓ α)␈ε→0␈↓ αF␈ε→0␈↓ αc␈ε→0
␈β∂'␈↓ ↓H␈εαand␈α(␈↓ α~␈ελz␈↓ α7␈ελz␈↓ αT␈ελz␈↓ αr␈εα)␈↓ β_␈εαis␈αthe␈αbinary␈αnotation␈αfor
␈β∂5␈↓ α}␈ε¬2
␈β∂9␈↓ α)␈ε¬2␈↓ αF␈ε¬1␈↓ αc␈ε¬0
␈β∂`␈↓ ¬
␈ε↓8
␈β∂⎇␈↓ ¬>␈εl␈↓ ¬Z␈εl
␈β⊂␈↓ ¬
␈ε↓>
␈β⊂β␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬F␈ελy␈↓ ¬b␈εα,␈↓ λP␈εαif␈↓ λr␈ελc␈↓ 	
␈εα=␈α
0;
␈β⊂␈↓ ¬
␈ε↓>
␈β⊂⊗␈↓ ¬
␈ε↓>
␈β⊂!␈↓ ¬
␈ε↓<
␈β⊂/␈↓ ¬↑␈εl␈↓ ε-␈εl
␈β⊂5␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬J␈ελy␈↓ ¬n␈εα+␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε5␈ελy␈↓ εU␈εα,␈↓ λP␈εαif␈↓ λr␈ελc␈↓ 	
␈εα=␈α
1;
␈β⊂C␈↓ ¬<␈ε¬0␈↓ εF␈ε¬0
␈β⊂E␈↓ β+␈εr␈↓ ∧K␈εl
␈β⊂K␈↓ β≤␈ελz␈↓ βA␈εα+␈↓ βm␈ελz␈↓ ∧⊂␈εα+␈↓ ∧<␈ελz␈↓ ∧a␈εα+␈↓ 
p␈εα(46)
␈β⊂X␈↓ βy␈ε¬1
␈β⊂]␈↓ β+␈ε¬0␈↓ ∧K␈ε¬2
␈β⊂a␈↓ ¬
␈ε↓>␈↓ ¬↑␈εl␈↓ π ␈εl
␈β⊂h␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬J␈ελy␈↓ ¬n␈εα+␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε9␈ελy␈↓ εa␈εα+␈↓ π
␈ελx␈↓ π(␈ελy␈↓ πG␈εα,␈↓ λP␈εαif␈↓ λr␈ελc␈↓ 	
␈εα=␈α
2;
␈β⊂l␈↓ ¬
␈ε↓>
␈β⊂u␈↓ ¬<␈ε¬0␈↓ ε+␈ε¬1␈↓ εJ␈ε¬1␈↓ π9␈ε¬0
␈β⊂w␈↓ ¬
␈ε↓>
␈β⊃α␈↓ ¬
␈ε↓:
␈β⊃∀␈↓ ¬↑␈εl␈↓ πz␈εl
␈β⊃~␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬J␈ελy␈↓ ¬n␈εα+␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε9␈ελy␈↓ εU␈εα+␈↓ π↓␈ελx␈↓ π∀␈ελy␈↓ π<␈εα+␈↓ πh␈ελx␈↓ λβ␈ελy␈↓ λ"␈εα,␈↓ λP␈εαif␈↓ λr␈ελc␈↓ 	
␈εα=␈α
3.
␈β⊃'␈↓ ¬<␈ε¬0␈↓ ε+␈ε¬1␈↓ π%␈ε¬1␈↓ λ∀␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα711
␈βα∨␈↓ ↓H␈εα(Table␈α1␈αwill␈αgo␈αon␈αthis␈αpage,␈αit's␈αbeing␈αset␈αseparately)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα712␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈↓ ελ␈ε∞19␈α␈78␈εα␈↓ 
|4.x
␈β↓\␈↓ ¬↑␈ε↔⎇
␈βα(␈↓ ↓H␈εαThe␈αleftmost␈αmachine␈↓ ∧+␈ελM␈↓ ∧d␈εαbehav␈α␈es␈αin␈αalmost␈αthe␈αsame␈αway␈αas␈αthe␈αothers;␈αit␈αacts
␈βα5␈↓ ∧J␈ε¬1
␈βαS␈↓ ↓H␈εαexactly␈α	as␈α
if␈α
there␈α	w␈α␈ere␈α
a␈α	machine␈α
to␈α
its␈α	left␈α
in␈α
state␈α	(3,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈↓ 	(␈ελu␈↓ 	>␈εα,␈↓ 	N␈ελv␈↓ 	a␈εα,␈↓ 	q␈ελq␈↓ 
↓␈εα,␈αε0,␈αε0)␈α	when
␈βα}␈↓ ↓H␈εαit␈αεis␈αεreceiving␈απthe␈αεinputs␈αε(␈↓ ∧C␈ελu␈↓ ∧Y␈εα,␈↓ ∧i␈ελv␈↓ ∧|␈εα,␈↓ ¬␈ελq␈↓ ¬≤␈εα).␈α
The␈αεoutput␈απof␈αεthe␈απarray␈αεis␈αεthe␈↓ λ␈␈ελz␈↓ 	∨␈εαcomponen␈α␈t␈απof␈↓ 
u␈ελM␈↓ "␈εα.
␈ββ␈↓ 	␈ε¬0␈↓ ∀␈ε¬1
␈ββ+␈↓ α␈εαTable␈α1␈αsho␈α␈ws␈αan␈αexample␈αof␈αthis␈αarray␈αacting␈αon␈αthe␈αinputs
␈β∧π␈↓ β,␈ελu␈↓ βL␈εα=␈↓ βz␈ελv␈↓ ∧↔␈εα=␈α
(␈↓ ∧W␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬π␈εα00010111␈↓ ε↔␈εα)␈↓ ε1␈εα,␈↓ π	␈ελq␈↓ π#␈εα=␈α
(␈↓ πc␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ∪␈εα00001011␈↓ 	#␈εα)␈↓ 	>␈εα.
␈β∧∀␈↓ ε#␈ε¬2␈↓ 	/␈ε¬2
␈β∧b␈↓ ↓H␈εαThe␈αoutput␈αsequence␈αappears␈αin␈αthe␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αrigh␈α␈t␈αportion␈αof␈αthe␈αstates␈αof␈↓ 
3␈ελM␈↓ 
`␈εα:
␈β∧o␈↓ 
R␈ε¬1
␈β¬=␈↓ ∧A␈εα0,␈α0,␈α1,␈α1,␈α1,␈α0,␈α0,␈α0,␈α0,␈α1,␈α0,␈↓ πy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈εα,
␈βε→␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ting␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(␈↓ ∧e␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∃␈εα01000011100␈↓ ε[␈εα)␈↓ π↓␈εαfrom␈αrigh␈α␈t␈αto␈αleft.
␈βε&␈↓ εg␈ε¬2
␈βεF␈↓ α␈εαThis␈αconstruction␈αis␈αbased␈αon␈αa␈αsimilar␈αone␈α|rst␈αpublished␈αby␈αA.␈α
J.␈αAtrubin,
␈βεq␈↓ ↓H␈ε∂IEEE␈αTrans.␈ε∩␈α∂EC↑14␈εα␈α
(1965),␈α
394↑399.␈α~S.␈α
Winograd␈α
[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α
14␈εα␈α(1967),␈α
793↑802]
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εαhas␈αin␈α␈v␈α␈estigated␈αthe␈αminim␈α␈um␈αm␈α␈ultiplication␈αtime␈αachievable␈αin␈αa␈αlogical␈αcircuit
␈βπG␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α%␈ελn␈↓ αE␈εαis␈αgiv␈α␈en␈αand␈αwhen␈αthe␈αinputs␈αare␈αavailable␈αall␈αat␈αonce␈αin␈αcoded␈αform;␈αsee
␈βπr␈↓ ↓H␈εαalso␈αC.␈αS.␈αWallace,␈ε∂␈αIEEE␈αTrans.␈ε∩␈αEC↑13␈εα␈α(1964),␈α14↑17.
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β	a␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈α
idea␈α
ex␈α␈pre␈α␈ssed␈α
i␈α↓n␈α
(2␈α␈)␈α∞can␈α
b␈α␈e␈α∞g␈α␈ene␈α␈ralized␈α
to␈α
the␈α
dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α∞sy␈α␈stem,␈α∞if␈α∞the
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβra␈α␈dix␈αλ2␈α	is␈α	repla␈α␈ced␈α	b␈α␈y␈α	1␈α␈0.␈αUsin␈α␈g␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	g␈α␈en␈α␈eralization␈α␈,␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α	2␈α␈71␈α␈8␈α	times␈α	4␈α␈742␈αλ(redu␈α␈cing
␈β
0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α	p␈α␈rodu␈α␈ct␈αλof␈α	fou␈α␈r-dig␈α␈i␈α↓t␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α	to␈αλthre␈α␈e␈α	p␈α␈rod␈α␈ucts␈αλof␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α␈-␈α↓d␈α␈igit␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α	an␈α␈d␈αλredu␈α␈cing
␈β
X␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈α
of␈αthe␈αlatt␈α␈er␈αto␈αpr␈α␈odu␈α␈cts␈αof␈αo␈α␈ne-d␈α␈i␈α↓g␈α␈it␈αn␈α}um␈α}bers).
␈β⊃␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α	tha␈α␈t,␈α
in␈α	s␈α␈tep␈α	C1␈αλof␈α	Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	C␈↓ π→␈εβ,␈α	the␈α	v␈α␈alu␈α␈e␈α	of␈ε	␈α	R␈εβ␈α	eith␈α␈er␈α	stay␈α␈s␈α	the␈αλsame
␈β5␈↓ ε ␈∧5ε α→
␈β7␈↓ ¬}␈ε↔p
␈β8␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αin␈α␈creas␈α␈es␈αb␈α␈y␈αon␈α␈e␈αwhen␈α
we␈αse␈α␈t␈ε	␈αR␈ε↔␈α
 ␈α
b␈↓ ε ␈ε	Q␈↓ ε8␈ε↔c␈εβ.␈α~(Th␈α␈erefore␈α␈,␈αas␈αob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈αin␈αtha␈α␈t␈αste␈α␈p,␈αw␈α␈e
␈β`␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α
no␈α␈t␈αc␈α␈alcula␈α␈te␈αa␈αsqu␈α␈are␈αro␈α␈ot.)
␈β→␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α	t␈α␈hat␈αλth␈α␈e␈αλsequ␈α␈enc␈α␈es␈↓ ¬`␈ε	q␈↓ ¬y␈εβ,␈↓ ε␈ε	r␈↓ ε,␈εβde|␈α␈ne␈α␈d␈αλi␈α↓n␈απAl␈α↓g␈α␈orithm␈αλC␈αλsa␈α␈ti␈α↓sfy␈αλth␈α␈e␈αλineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity
␈β$␈↓ ¬l␈εk␈↓ ε↔␈εk
␈β<␈↓ ↓X␈εq␈↓ ↓o␈εε+1␈↓ αU␈εr␈↓ β0␈εq␈↓ βi␈εε+␈↓ ∧α␈εq
␈βA␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α∃␈εβ(2␈↓ α1␈ε	r␈↓ αJ␈εβ)␈↓ αu␈ε↔∀␈↓ β ␈εβ2␈↓ ∧→␈εβ,␈αwhen␈↓ ¬∧␈ε	k␈↓ ¬≡␈εβ>␈α	0.
␈βD␈↓ ↓c␈ε
k␈↓ α←␈ε
k␈↓ β;␈ε
k␈↓ βG␈ε≠␈␈επ1␈↓ ∧␈ε
k
␈βK␈↓ α=␈εk
␈βv␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βz␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	28␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(K.␈αBak␈α␈e␈α␈r.␈α↓)␈α~Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αit␈αis␈αa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈αto␈αev␈α␈alua␈α␈te␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ 
d␈ε	W␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β
!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈↓ β␈ε	x␈↓ β&␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ βr␈ε	r␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧A␈εβ,␈α0␈α␈,␈↓ ∧y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬&␈εβ,␈↓ ¬:␈ε	r␈↓ ¬S␈εβinst␈α␈ead␈α
of␈α
at␈αth␈α␈e␈α
non␈α␈ne␈α␈gativ␈α}e␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈↓ 	h␈ε	x␈↓ 
β␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α1,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β
I␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	r␈↓ ↓r␈εβas␈αin␈αAlg␈α␈orithm␈αC␈↓ β{␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ¬␈␈ε	U␈↓ ε≠␈εβ(␈↓ ε&␈ε	x␈↓ ε7␈εβ)␈αcan␈α
be␈αwritten
␈β∞↔␈↓ ε8␈εε2␈↓ πN␈εε2
␈β∞≥␈↓ ¬¬␈ε	U␈↓ ¬ ␈εβ(␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬<␈εβ)␈α
=␈↓ ¬{␈ε	U␈↓ ε≠␈εβ(␈↓ ε'␈ε	x␈↓ εD␈εβ)␈αλ+␈↓ π␈ε	x␈↓ π⊃␈ε	U␈↓ π2␈εβ(␈↓ π=␈ε	x␈↓ π[␈εβ),
␈β∞(␈↓ ε⊃␈εe␈↓ π&␈εo
␈β∞q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
s␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈↓ β⊗␈ε	V␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βJ␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ ∧%␈ε	W␈↓ ∧F␈εβ(␈↓ ∧Q␈ε	x␈↓ ∧b␈εβ)␈α∞ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
exp␈α␈an␈α␈ded␈αi␈α↓n␈αthis␈α
way␈α␈;␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α
ho␈α␈w␈α
to␈α
e␈α␈xp␈α␈l␈α↓o␈α␈i␈α↓t␈α
th␈α␈is
␈β∂→␈↓ ↓H␈εβid␈α␈ea,␈αob␈α␈tainin␈α␈g␈αfaster␈αc␈α␈alculatio␈α␈ns␈αin␈αstep␈α␈s␈αC7␈αa␈α␈nd␈α
C8.
␈β∂N␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂O␈↓ 	∀␈∧∂O	∀α)
␈β∂P␈↓ λr␈ε↔p
␈β∂R␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	35␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αif␈α
in␈αstep␈αC1␈αof␈αAl␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αC␈αw␈α␈e␈αset␈ε	␈αR␈ε↔␈α ␈αd␈↓ 	∀␈εβ2␈↓ 	$␈ε	Q␈↓ 	B␈ε↔e␈εβ␈αλ+␈αλ1␈αinste␈α␈ad␈αo␈α␈f
␈β∂v␈↓ αC␈∧∂vαCα→
␈β∂x␈↓ α!␈ε↔p
␈β∂y␈↓ ↓H␈ε	R␈ε↔␈α
 ␈α
b␈↓ αC␈ε	Q␈↓ α[␈ε↔c␈εβ,␈αwith␈αsu␈α␈i␈α↓ta␈α␈ble␈αi␈α↓n␈α␈iti␈α↓a␈α␈l␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ε4␈ε	q␈↓ εL␈εβ,␈↓ εa␈ε	q␈↓ εz␈εβ,␈↓ π∂␈ε	r␈↓ π(␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ π}␈ε	r␈↓ λ⊗␈εβ,␈αthen␈α(19␈α␈)␈αca␈α␈n␈αbe␈αi␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}ed
␈β⊂∧␈↓ ε@␈εε0␈↓ εm␈εε1␈↓ π≠␈εε0␈↓ λ
␈εε1
␈β⊂∨␈↓ β,␈∧⊂∨β,αb
␈β⊂ ␈↓ β␈ε↔p
␈β⊂$␈↓ β,␈εε2␈↓ β=␈εεlg␈↓ βU␈εq
␈β⊂,␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	t␈↓ α⊃␈ε↔∀␈↓ α;␈ε	q␈↓ αz␈εβ2␈↓ β←␈ε
k␈↓ βl␈επ+␈α␈1␈↓ ∧∪␈εβ(␈↓ ∧≡␈εβlg␈↓ ∧>␈ε	q␈↓ ∧⎇␈εβ).
␈β⊂7␈↓ ↓z␈εk␈↓ αG␈εk␈↓ αU␈εε+1␈↓ ∧J␈εk␈↓ ∧W␈εε+1
␈β⊂e␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αthe␈αsix␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αin␈α(2␈α␈2)␈αare␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αin␈αpa␈α␈irs.
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α(23).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα713
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	25␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈α∂it␈α∂tak␈α}es␈α∂on␈α␈l␈α↓y␈↓ ¬T␈ε	O␈↓ ¬l␈εβ(␈↓ ¬w␈ε	K␈↓ ε_␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ εI␈ε	K␈↓ εd␈εβ)␈α∂arithm␈α␈etic␈α∂op␈α␈eration␈α␈s␈α∂to␈α∂ev␈α␈alua␈α␈te␈α∂the
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nite␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sform␈α
(␈α↓3␈α␈2),␈αev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈↓ ε≤␈ε	K␈↓ εB␈εβi␈α↓s␈α
not␈αa␈α
po␈α}we␈α␈r␈αof␈α2.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αRewrite␈α(32)␈αin
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αform
␈βα⎇␈↓ ¬␈␈ε↓X
␈ββ→␈↓ ¬@␈επ2␈↓ π"␈επ2␈↓ π}␈επ2
␈ββ≥␈↓ ¬≤␈ε~␈␈↓ ¬5␈εs␈↓ ¬L␈εε/␈α␈2␈↓ εc␈εε(␈↓ εk␈εs␈↓ εw␈εε+␈↓ π⊂␈εt␈↓ π~␈εε)␈↓ π-␈εε/2␈↓ π\␈ε~␈␈↓ πu␈εt␈↓ λ
␈εε/␈α␈2
␈ββ#␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧6␈εβ∂␈↓ ∧\␈εβ=␈↓ ¬π␈ε	|␈↓ εN␈ε	|␈↓ πF␈ε	|␈↓ λ#␈ε	u
␈ββ-␈↓ ∧H␈εs␈↓ λ6␈εt
␈ββT␈↓ ¬j␈εε0␈ε~∀␈↓ ε⊂␈εt␈↓ ε~␈εε<␈↓ ε3␈εK
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
exp␈α␈ress␈αth␈α␈i␈α↓s␈αsu␈α␈m␈αas␈αa␈α
con␈α}v␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈rod␈α␈uct.]
␈β∧O␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈αthe␈α
Four␈α␈i␈α↓er␈α
tran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αo␈α␈f␈αthe␈α
text␈α
i␈α↓s␈α
app␈α␈li␈α↓e␈α␈d␈αwith␈α
all
␈β∧s␈↓ ¬␈εq
␈β∧w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈rrenc␈α␈es␈αof␈↓ β!␈ε	|␈↓ βB␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αby␈↓ ∧w␈ε	|␈↓ ¬_␈εβ,␈αwhere␈↓ ε∞␈ε	q␈↓ ε)␈εβis␈αs␈α␈ome␈α|x␈α}ed␈αin␈α}teger␈α␈.␈α∞Find␈αa␈αsimple␈αrelation
␈β¬≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α∞the␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈α∂(␈↓ ∧≥␈ε	u␈↓ ∧∨␈εβ∀␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧L␈ε	u␈↓ ∧M␈εβ∀␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬7␈εβ∀␈↓ ε∧␈εβ)␈α∂obt␈α␈ained␈α∞by␈α∂th␈α␈is␈α⊂g␈α␈ene␈α␈ral␈α⊂p␈α␈roc␈α␈edu␈α␈re␈α∂an␈α␈d␈α∂the
␈β¬)␈↓ ∧1␈εε0␈↓ ∧←␈εε1␈↓ ¬I␈εK␈↓ ¬↑␈ε~␈␈εε1
␈β¬F␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α(␈↓ αX␈ε	u␈↓ αY␈εβ∂␈↓ αx␈εβ,␈↓ βε␈ε	u␈↓ βλ␈εβ∂␈↓ β&␈εβ,␈↓ β5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈εβ,␈↓ βp␈ε	u␈↓ βq␈εβ∂␈↓ ∧>␈εβ)␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αwh␈α␈en␈↓ ε5␈ε	q␈↓ εM␈εβ=␈α	1.
␈β¬P␈↓ αk␈εε0␈↓ β~␈εε1␈↓ ∧β␈εK␈↓ ∧→␈ε~␈␈εε1
␈β¬w␈↓ 
@␈εε[␈↓ 
G␈εj␈↓ 
S␈εε]
␈β¬{␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈αscaling␈αin␈α(37␈α␈)␈αmak␈α}es␈αit␈αclear␈αthat␈αall␈α
t␈α␈he␈αco␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ 
*␈ε	A␈↓ 
f␈εβcom␈α␈-
␈βε≡␈↓ 	J␈εj␈↓ 	V␈ε~␈␈↓ 	o␈εk
␈βε"␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ute␈α␈d␈α∞b␈α␈y␈α∞p␈α␈ass␈↓ β'␈ε	j␈↓ βD␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞tra␈α␈nsform␈α␈ation␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine␈α∞will␈α∂b␈α␈e␈α∞less␈α∞th␈α␈an␈↓ 	9␈εβ2␈↓ 

␈εβi␈α↓n␈α
ab␈α␈solute
␈βεJ␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈,␈α∂du␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈α∞calcu␈α␈lation␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈↓ ¬8␈ε	u␈↓ ¬:␈εβ∂␈↓ ¬e␈εβan␈α␈d␈↓ ε(␈εβ∂␈↓ ε)␈ε	v␈↓ εQ␈εβin␈α∞t␈α␈he␈α∞S␈α␈ch␈↓ πk␈εβ∪␈↓ πk␈εβo␈↓ π{␈εβnh␈α␈age␈α␈-␈α↓S␈α␈trass␈α␈en␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈βεT␈↓ ¬K␈εs␈↓ ε7␈εs
␈βεm␈↓ ¬!␈εε[␈↓ ¬(␈εj␈↓ ¬4␈εε]
␈βεq␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.␈αS␈α␈ho␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈α	all␈α	of␈α	th␈α␈e␈↓ ¬␈ε	A␈↓ ¬D␈εβwill␈α	be␈αλl␈α↓es␈α␈s␈α	tha␈α␈n␈α	1␈αλin␈α	a␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈α	v␈α␈alue␈αλdu␈α␈ring␈αλthe␈ε⊂␈αλthird
␈βπ→␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈urier␈αtran␈α␈sform␈α␈ation␈α(th␈α␈e␈αca␈α␈l␈α↓cu␈α␈lation␈α
of␈↓ ε5␈ε	w␈↓ εX␈εβ).
␈βπ$␈↓ εK␈εr
␈βπJ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπN␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β→␈ε	n␈↓ β8␈εβi␈α↓s␈α|x␈α}ed,␈αh␈α␈o␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y␈αof␈αthe␈αauto␈α␈mata␈αin␈αthe␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αi␈α↓te␈α␈rativ␈α␈e␈αarra␈α␈y␈α(4␈α␈5),
␈βπu␈↓ ↓H␈εβ(4␈α␈6)␈αare␈αn␈α␈eede␈α␈d␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αth␈α␈e␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈αn␈α␈um␈α}bers?␈α→(Not␈α␈e␈αthat␈αth␈α␈e␈αau␈α␈toma␈α␈ton
␈βλ→␈↓ ε∞␈εr
␈βλ≥␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓x␈εβi␈α↓s␈απi␈α↓n␈α␈⎇u␈α␈enc␈α␈ed␈αλo␈α␈nly␈απby␈απthe␈αλc␈α␈omp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈↓ ε↓␈ε	z␈↓ ε#␈εβof␈αλth␈α␈e␈αλma␈α␈chin␈α␈e␈αλon␈απits␈αλri␈α↓g␈α␈h␈α␈t,␈α	so␈απw␈α␈e␈αλma␈α␈y␈αλrem␈α␈o␈α␈v␈α␈e
␈βλ(␈↓ ↓d␈εj
␈βλ,␈↓ ε∞␈εε0
␈βλE␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈απauto␈α␈mata␈απwh␈α␈ose␈↓ βc␈ε	z␈↓ ∧β␈εβc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈απi␈α↓s␈απalway␈α␈s␈αλzero␈απwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈απthe␈απi␈α↓n␈α␈pu␈α␈ts␈αλa␈α␈re␈↓ 	O␈ε	n␈↓ 	c␈εβ-b␈α␈it␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers.)
␈βλO␈↓ βn␈εε0
␈βλv␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλz␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	30␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(A.␈αSch␈↓ βE␈εβ∪␈↓ βE␈εβo␈↓ βV␈εβn␈α␈ha␈α␈ge.)␈α→Th␈α␈e␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈αo␈α␈f␈αthis␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
i␈α↓s␈α
to␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αa␈αsimp␈α␈le␈αform
␈β	!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α	p␈α␈oin␈α␈ter␈αλma␈α␈chin␈α␈e␈α	c␈α␈an␈αλm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬-␈εβ-bit␈αλn␈α␈um␈α}bers␈αλin␈↓ π⊂␈ε	O␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	n␈↓ πG␈εβ)␈α	step␈α␈s.␈α
T␈α↓h␈α␈e␈αλmac␈α␈hine␈αλh␈α␈as␈αλno␈αλb␈α␈uilt-
␈β	I␈↓ ↓H␈εβin␈αfaciliti␈α↓e␈α␈s␈αfor␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α␈;␈α
a␈α␈l␈α↓l␈αit␈αd␈α␈oes␈αi␈α↓s␈αw␈α␈ork␈αwi␈α↓t␈α␈h␈αn␈α␈od␈α␈es␈αan␈α␈d␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ters.␈α
Each␈αno␈α␈de␈αha␈α␈s
␈β	p␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sam␈α␈e␈α
|n␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈α∞link␈α|e␈α␈l␈α↓d␈α␈s,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈ere␈α
ar␈α␈e␈α
|n␈α␈i␈α↓te␈α␈l␈α↓y␈αman␈α}y␈α
link␈αregisters.␈α⊃The
␈β
_␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nly␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈αth␈α␈is␈αmach␈α␈ine␈αc␈α␈an␈αd␈α␈o␈αare␈α␈:
␈β
M␈↓ α∀␈εβi)␈↓ α4␈εβre␈α␈ad␈αo␈α␈ne␈αb␈α␈it␈αof␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αan␈α␈d␈αju␈α␈mp␈αif␈αtha␈α␈t␈αbit␈αis␈α0␈α␈;
␈β
u␈↓ α␈εβii)␈↓ α4␈εβo␈α␈utp␈α␈ut␈α0␈αo␈α␈r␈α1;
␈β≥␈↓ αα␈εβiii)␈↓ α4␈εβloa␈α␈d␈αa␈α
re␈α␈gister␈α
with␈αth␈α␈e␈α
co␈α␈n␈α␈ten␈α}ts␈α
of␈αan␈α␈othe␈α␈r␈α
reg␈α␈i␈α↓st␈α␈er␈α
or␈αwith␈α
th␈α␈e␈αcon␈α}ten␈α␈ts␈αof␈α
a
␈βE␈↓ α4␈εβlink␈α
|eld␈α
i␈α↓n␈α
a␈αn␈α␈ode␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α␈ed␈αto␈αb␈α␈y␈αa␈α
register;
␈βm␈↓ αα␈εβiv␈α␈)␈↓ α4␈εβsto␈α␈re␈α	t␈α␈he␈αλcon␈α}ten␈α␈ts␈αλof␈αλa␈α	re␈α␈gister␈α	in␈α}to␈α	a␈αλlink␈αλ|␈α␈eld␈α	in␈αλa␈αλno␈α␈de␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}ted␈αλto␈αλby␈αλa␈αλreg␈α␈i␈α↓s␈α␈ter;
␈β∃␈↓ α␈εβv␈α␈)␈↓ α4␈εβju␈α␈mp␈αif␈αt␈α␈w␈α␈o␈αreg␈α␈i␈α↓st␈α␈ers␈αare␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈α↓;
␈β=␈↓ αα␈εβv␈α␈i)␈↓ α4␈εβc␈α␈reate␈αa␈α
new␈αn␈α␈ode␈α
and␈α
mak␈α}e␈αa␈αreg␈α␈ister␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αto␈αit;
␈βf␈↓ ↓x␈εβvii)␈↓ α4␈εβh␈α␈alt.
␈β
~␈↓ ↓H␈εβIm␈α␈plemen␈α}t␈αt␈α␈he␈α
Fourier-tra␈α␈nsfo␈α␈rm␈α
m␈α␈ultiplication␈α	meth␈α␈od␈α
e}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈α
on␈α
su␈α␈ch␈α
a␈α
ma␈α␈chin␈α␈e.
␈β
B␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈ts:␈εβ␈α⊂Fi␈α↓rst␈α
sho␈α}w␈α∞tha␈α␈t␈α∞if␈↓ ∧M␈ε	N␈↓ ∧z␈εβis␈α
an␈α␈y␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞in␈α}teger,␈α∞it␈α∞is␈α∞p␈α␈ossible␈α
to␈α∞cre␈α␈ate␈↓ 
.␈ε	N␈↓ 
[␈εβno␈α␈de␈α␈s
␈β
j␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈απth␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε↔␈αλf␈εβ␈α␈0,␈αε1␈α␈,␈↓ ∧|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬)␈εβ,␈↓ ¬7␈ε	N␈↓ ¬V␈ε↔g␈εβ,␈αλwhere␈απth␈α␈e␈απnod␈α␈e␈απrepre␈α␈sen␈α␈tin␈α␈g␈↓ 	∞␈ε	p␈↓ 	'␈εβh␈α␈as␈απpo␈α␈i␈α↓n␈α}ters␈απto␈απthe
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εβn␈α␈od␈α␈es␈αλre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈↓ βY␈ε	p␈↓ βm␈εβ+␈αβ1␈α␈,␈ε↔␈α	b␈↓ ∧@␈ε	p␈↓ ∧Q␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ,␈α	a␈α␈nd␈απ2␈↓ ¬←␈ε	p␈↓ ¬p␈εβ.␈α
Th␈α␈ese␈απnod␈α␈es␈αλc␈α␈an␈απbe␈απcrea␈α␈ted␈απin␈↓ 	0␈ε	O␈↓ 	H␈εβ(␈↓ 	S␈ε	N␈↓ 	r␈εβ)␈απsteps␈α␈.␈αS␈α␈ho␈α}w
␈β∞9␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αar␈α␈i␈α↓th␈α␈metic␈αwith␈αra␈α␈dix␈↓ ∧T␈ε	N␈↓ ∧}␈εβca␈α␈n␈αn␈α␈o␈α␈w␈αbe␈αsim␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈αwith␈α␈out␈αd␈α␈i}culty␈α␈:␈αfo␈α␈r␈αe␈α␈xam␈α␈ple,␈αit
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβta␈α␈k␈α␈es␈↓ α≤␈ε	O␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈εβlog␈↓ αo␈ε	N␈↓ β∞␈εβ)␈α
ste␈α␈ps␈α	to␈α	|n␈α␈d␈α	the␈α	n␈α␈od␈α␈e␈α
fo␈α␈r␈α
(␈↓ ε∨␈ε	p␈↓ ε5␈εβ+␈↓ ε[␈ε	q␈↓ εj␈εβ)␈↓ ε{␈εβmo␈α␈d␈↓ π?␈ε	N␈↓ πh␈εβa␈α␈nd␈α	to␈α	d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α	i␈α↓f␈↓ 
¬␈ε	p␈↓ 
≠␈εβ+␈↓ 
B␈ε	q␈↓ 
Z␈ε↔∃␈↓ ∧␈ε	N␈↓ #␈εβ,
␈β∂∧␈↓ 	x␈εε2
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
p␈α␈oin␈α␈te␈α␈rs␈αt␈α␈o␈↓ βD␈ε	p␈↓ β`␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧∨␈ε	q␈↓ ∧.␈εβ;␈αan␈α␈d␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈αs␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈lated␈α	i␈α↓n␈↓ λz␈ε	O␈↓ 	∪␈εβ(␈↓ 	≡␈εβlog␈↓ 	N␈ε	N␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 
∂␈εβs␈α␈teps.␈αNo␈α}w
␈β∂,␈↓ 	`␈ε~d␈↓ 	j␈εm␈↓ 
↓␈εε/1␈α␈3␈ε~e
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t,␈α
with␈↓ ε≠␈ε	k␈↓ ε6␈εβ=␈↓ εb␈ε	l␈↓ εw␈εβa␈α␈nd␈↓ π8␈ε	m␈↓ π`␈εβ=␈α6␈↓ λ≥␈ε	k␈↓ λ9␈εβa␈α␈nd␈↓ λz␈ε	N␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	O␈εβ2␈↓ 
1␈εβ,␈αso␈αtha␈α␈t
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α
qu␈α␈an␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αin␈α	the␈α
|␈α␈x␈α␈ed␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
arithm␈α␈etic␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tions␈α
a␈α␈re␈α
13␈α␈-␈α↓p␈α␈lace␈α
in␈α}tegers␈α
with␈α
ra␈α␈dix
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓g␈εβ.␈α∪Fina␈α␈l␈α↓ly␈α␈,␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞e␈α␈ach␈α
pa␈α␈ss␈α∞of␈α
the␈α
fast␈α∞Fou␈α␈rier␈α∞tra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈α␈s␈α∞ca␈α␈n␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞in
␈β⊂"␈↓ βC␈εε2
␈β⊂#␈↓ ↓`␈εα(␈↓ βP␈εα)
␈β⊂&␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈ε	K␈↓ α⊂␈εβ+␈α	(␈↓ αE␈ε	N␈↓ αi␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ β→␈ε	N␈↓ β8␈εβ)␈↓ βh␈εβ=␈↓ ∧⊗␈ε	O␈↓ ∧.␈εβ(␈↓ ∧9␈ε	K␈↓ ∧U␈εβ)␈α
ste␈α␈ps,␈α
using␈αthe␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓in␈α␈g␈α
ide␈α␈a:␈α∂Each␈αof␈α
th␈α␈e␈↓ 	{␈ε	K␈↓ 
$␈εβn␈α␈ece␈α␈ssary
␈β⊂K␈↓ 
c␈ε∃MIX
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssignm␈α␈en␈α␈ts␈α	can␈α	b␈α␈e␈α
\␈α␈com␈α␈piled"␈α	in␈α␈to␈α	a␈α	bo␈α␈un␈α␈ded␈α	list␈α
o␈α␈f␈α
inst␈α␈ruction␈α␈s␈α
fo␈α␈r␈α
a␈α	sim␈α␈ula␈α␈ted␈↓ !␈εβ-
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβlik␈α␈e␈α
co␈α␈mp␈α␈uter␈α
wh␈α␈ose␈α
w␈α␈ord␈α
size␈α
is␈↓ ¬;␈ε	N␈↓ ¬Z␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α
instru␈α␈ction␈α␈s␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λ!␈ε	K␈↓ λJ␈εβsuc␈α␈h␈α
mac␈α␈hine␈α␈s␈α∞a␈α␈cting␈α
in
␈β⊃→␈↓ ε[␈εε2
␈β⊃~␈↓ ∧{␈εα(␈↓ εg␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ara␈α␈l␈α↓lel␈αc␈α␈an␈α
be␈α
sim␈α␈ula␈α␈ted␈α
i␈α↓n␈↓ ∧c␈ε	O␈↓ ¬π␈ε	K␈↓ ¬)␈εβ+␈απ(␈↓ ¬\␈ε	N␈↓ ε↓␈εβlog␈↓ ε1␈ε	N␈↓ εP␈εβ)␈↓ ε}␈εβstep␈α␈s␈αif␈αth␈α␈ey␈α
are␈α
|r␈α␈st␈αsort␈α␈ed␈α
so␈αth␈α␈at␈α
all
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα714␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈↓ ελ␈ε∞19␈α␈78␈εα␈↓ 
|4.x
␈β↓\␈↓ ¬↑␈ε↔⎇
␈βα*␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tica␈α␈l␈α
instru␈α␈ction␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
p␈α␈erform␈α␈ed␈αtog␈α␈ethe␈α␈r.␈α≤(␈α↓Tw␈α␈o␈αinstr␈α␈uction␈α␈s␈α
a␈α␈re␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈t␈α␈i␈α↓ca␈α␈l␈α
if␈α
th␈α␈ey
␈βαR␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈απthe␈απsa␈α␈me␈απo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απco␈α␈de,␈αλth␈α␈e␈απsam␈α␈e␈απregister␈απc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈ts,␈αλan␈α␈d␈απth␈α␈e␈απsame␈αεmemo␈α␈ry␈απop␈α␈era␈α␈nd
␈βαu␈↓ ∧&␈εε2␈↓ ¬≥␈εε12/␈α␈13␈↓ π.␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈ts.)␈α→Note␈αth␈α␈at␈↓ ∧π␈ε	N␈↓ ∧<␈εβ=␈↓ ∧f␈ε	O␈↓ ∧}␈εβ(␈↓ ¬	␈ε	n␈↓ ¬\␈εβ)␈α↓,␈αso␈α(␈↓ ε0␈ε	N␈↓ εT␈εβlog␈↓ π∧␈ε	N␈↓ π#␈εβ)␈↓ πD␈εβ=␈↓ πo␈ε	O␈↓ λπ␈εβ(␈↓ λ∩␈ε	K␈↓ λ-␈εβ).␈α↓]
␈ββ,␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈απSc␈α␈h␈↓ β↑␈εβ∪␈↓ β↑␈εβo␈↓ βo␈εβn␈α␈ha␈α␈ge.)␈α∂Wh␈α␈at␈απis␈απa␈απg␈α␈ood␈αεup␈α␈pe␈α␈r␈απbo␈α␈un␈α␈d␈απon␈αεthe␈αεtime␈απn␈α␈eede␈α␈d␈απto␈αεm␈α␈ultiply
␈ββS␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈↓ ↓t␈ε	m␈↓ α∩␈εβ-b␈α␈it␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α	by␈α	a␈α␈n␈↓ ∧ ␈ε	n␈↓ ∧4␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er,␈α
wh␈α␈en␈α	bo␈α␈th␈↓ π∪␈ε	m␈↓ π:␈εβan␈α␈d␈↓ πy␈ε	n␈↓ λ⊗␈εβare␈α	v␈α␈ery␈α	la␈α␈rge␈α	bu␈α␈t␈↓ 
!␈ε	n␈↓ 
>␈εβis␈α
m␈α␈u␈α␈ch
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ger␈αth␈α␈an␈↓ αt␈ε	m␈↓ β⊃␈εβ,␈αba␈α␈sed␈αo␈α␈n␈αthe␈α
results␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αse␈α␈ction␈αfo␈α␈r␈↓ λJ␈ε	m␈↓ λq␈εβ=␈↓ 	≠␈ε	n␈↓ 	0␈εβ?
␈β∧-␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M42␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Write␈αa␈αp␈α␈rogra␈α␈m␈αfo␈α␈r␈αAlgorith␈α␈m␈αC␈↓ εf␈εβ,␈αin␈α␈corp␈α␈oratin␈α␈g␈αt␈α␈he␈αi␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}emen␈α}ts␈αo␈α␈f␈αex␈α␈-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εβe␈α␈rcise␈α4␈α␈.␈α
Comp␈α␈are␈αit␈αwith␈αa␈αpro␈α␈gram␈αfor␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α4.3␈α␈.␈α↓1␈α␈M␈αa␈α␈nd␈αwith␈αa␈αpro␈α␈gram␈αba␈α␈sed
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α(2),␈αto␈αsee␈α
ho␈α␈w␈αlarg␈α␈e␈↓ ∧&␈ε	n␈↓ ∧E␈εβm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αbe␈α␈fore␈αAlgorith␈α␈m␈αC␈αis␈αan␈αimp␈α␈ro␈α␈v␈α}emen␈α}t.
␈β¬/␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M49␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(S␈α␈.␈α	A.␈αλCoo␈α␈k.)␈α∩A␈αλm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αλa␈α␈lgorith␈α␈m␈αλi␈α↓s␈αλsa␈α␈id␈αλto␈αλb␈α␈e␈ε⊂␈αλon␈απl␈α↓in␈α␈e␈εβ␈αλi␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλ(␈↓ 
>␈ε	k␈↓ 
R␈εβ+␈α∧1␈α␈)␈α↓s␈α␈t
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβin␈α␈pu␈α␈t␈α∂b␈α␈its␈α∞of␈α∞the␈α∞o␈α␈pera␈α␈nd␈α␈s,␈α∂from␈α∞righ␈α}t␈α∞to␈α∞l␈α↓e␈α␈ft,␈α⊂a␈α␈re␈α∞no␈α␈t␈α∞read␈α
un␈α␈t␈α␈i␈α↓l␈α∞the␈↓ 	V␈ε	k␈↓ 	f␈εβth␈α∞o␈α␈utp␈α␈ut␈α∞b␈α␈it
␈β¬}␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α∂be␈α␈en␈α∂pro␈α␈du␈α␈ced␈α␈.␈α_W␈α↓h␈α␈at␈α∂are␈α∂th␈α␈e␈α⊂fa␈α␈stest␈α∂po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α⊂o␈α␈n-line␈α∂m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈α∂alg␈α␈orithm␈α␈s
␈βε&␈↓ ↓H␈εβa␈α␈chiev␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈α
on␈αv␈α␈ariou␈α␈s␈αspe␈α␈ci␈α↓e␈α␈s␈αof␈αau␈α␈toma␈α␈ta?
␈βεI␈↓ π⊃␈εε2
␈βεJ␈↓ α␈εα(␈↓ ε⊗␈εα(␈↓ λ↔␈εα)
␈βεM␈↓ α_␈εβThe␈αbest␈α
u␈α␈pp␈α␈er␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈α
k␈α␈no␈α}wn␈α
is␈↓ ¬}␈ε	O␈↓ ε"␈ε	n␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εB␈εβlo␈α␈g␈↓ εr␈ε	n␈↓ πε␈εβ)␈↓ π#␈εβlog␈↓ πS␈εβlog␈↓ λβ␈ε	n␈↓ λ#␈εβ,␈α∞d␈α␈ue␈α
to␈αM.␈α
J.␈α
Fi␈α↓sc␈α␈her␈α
a␈α␈nd
␈βεu␈↓ ↓H␈εβL.␈α
J.␈α
Stoc␈α␈kme␈α␈y␈α␈er␈α
[␈ε⊂J.␈α
Comp␈α␈.␈αa␈α␈nd␈α
S␈α␈ys␈α␈t.␈αS␈α␈ci.␈ε∪␈α9␈εβ␈α
(19␈α␈74),␈α
317␈α␈↑33␈α␈1];␈αth␈α␈eir␈αc␈α␈ons␈α␈truction␈α	w␈α␈ork␈α␈s
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tita␈α␈pe␈αTur␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αmac␈α␈hine␈α␈s,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αa␈α␈lso␈αon␈αp␈α␈oin␈α␈te␈α␈r␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es.␈αTh␈α␈e␈αbes␈α␈t␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αb␈α␈ou␈α␈nd
␈βπD␈↓ ↓H␈εβk␈α␈no␈α}wn␈α
is␈↓ αW␈ε	O␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	n␈↓ β∪␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βC␈ε	n␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈εβlog␈↓ ∧_␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ∧H␈ε	n␈↓ ∧\␈εβ),␈α∞d␈α␈ue␈αto␈α
M␈α␈.␈α
S.␈α
Paterso␈α␈n,␈α
M.␈α
J␈α␈.␈α
F␈α↓isch␈α␈er,␈α
an␈α␈d␈α
A.␈α
R.␈α
M␈α␈ey␈α␈e␈α␈r
␈βπl␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α␈/AM␈α␈S␈α	Proce␈α␈edin␈α␈gs␈ε∪␈α	7␈εβ␈α	(1␈α␈974␈α␈),␈α
97␈α␈↑11␈α␈1],␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αλto␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓ta␈α␈pe␈α	Tu␈α␈ring␈αλmach␈α␈ines␈αλbu␈α␈t
␈βλ⊂␈↓ ∧,␈εα)
␈βλ∪␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αto␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α␈er␈αmach␈α␈ines.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.x␈ε∞␈↓ ε6ARIT␈α␈HMET␈α␈IC←FIR␈α↓ST␈αλPR␈α␈OOFS␈↓ 
↓␈ε∞19␈α␈78␈↓ 
v␈εα801
␈β↓\␈↓ 	W␈ε↔⎇
␈βα&␈↓ α␈εβRed␈α␈oing␈α
the␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αp␈α␈age␈α␈s␈αt␈α␈oo...
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα802␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈↓ π0␈ε∞19␈α␈78␈εα␈↓ 
|4.x
␈β↓\␈↓ πε␈ε↔⎇
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεsize␈απof␈απth␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απb␈α␈eing␈απh␈α␈an␈α␈dled␈α␈,␈αλan␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αadd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns.␈α∞Its␈αon␈α␈l␈α↓y␈αdisa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈ge␈αis␈αa␈αlon␈α␈ger␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈α(sinc␈α␈e␈αthe
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tro␈α␈l␈α∞is␈α∞so␈α␈mewh␈α␈at␈α
more␈α
com␈α␈plex␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
so␈α␈me␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α∞c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞with
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈ned␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈)␈α↓.
␈ββE␈↓ 	f␈εε2␈↓ 
≤␈εε2␈↓ 
R␈εε2
␈ββI␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∂p␈α␈ossibility␈α∞w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞p␈α␈erh␈α␈aps␈α∞b␈α␈e␈α∂to␈α∞e␈α␈valu␈α␈ate␈↓ π{␈ε	W␈↓ λ0␈εβan␈α␈d␈↓ λt␈ε	W␈↓ 	*␈εβa␈α␈t␈↓ 	V␈εβ1␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
␈εβ2␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
A␈εβ4␈↓ 
↑␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈ββT␈↓ λ↔␈εe␈↓ 	⊂␈εo
␈ββm␈↓ ↓c␈εr␈↓ ↓{␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ2␈↓ ↓p␈εβ)␈↓ απ␈εβ;␈α⊂a␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈α∞i␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈α
are␈α∞la␈α␈rger,␈α∂th␈α␈e␈α∞c␈α␈alculatio␈α␈ns␈α∞a␈α␈re␈α∞faste␈α␈r,␈α∂since␈α
all
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈α
sh␈α␈i␈α↓ftin␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
all␈αdiv␈α␈i␈α↓sion␈α␈s␈αa␈α␈re␈αb␈α␈y␈αb␈α␈inary␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αo␈α␈f␈αthe
␈β∧<␈↓ α(␈εj␈↓ αP␈εk
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈↓ α↔␈εβ2␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈εβ2␈↓ αd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α→(Simp␈α␈le␈αpro␈α␈cedu␈α␈res␈αar␈α␈e␈αava␈α␈il␈α↓a␈α␈ble␈αfor␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
by␈α
such␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓)
␈β∧q␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSt␈α␈art␈αthe␈↓ β≥␈ε	q␈↓ β+␈εβ,␈↓ β:␈ε	r␈↓ βU␈εβseq␈α␈uen␈α␈ces␈αou␈α␈t␈αwith␈↓ ¬u␈ε	q␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈↓ ε\␈ε	q␈↓ π↓␈εβla␈α␈rge␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈αso␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αineq␈α␈uality␈αin
␈β∧{␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εh␈εε1
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α∞3␈α∂is␈α∂v␈α␈alid.␈α⊗Then␈α∞w␈α␈e␈α∂will␈α∂|n␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α∞th␈α␈e␈α∂form␈α}ulas␈α∞ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈α∂to␈α∞tho␈α␈se␈α∂p␈α␈reced␈α␈ing
␈β¬<␈↓ π8␈∧¬<π8α,
␈β¬=␈↓ π⊗␈ε↔p
␈β¬>␈↓ λ≥␈∧¬>λ≥αM
␈β¬?␈↓ π|␈ε↔p
␈β¬C␈↓ εq␈εε1␈α␈+␈↓ π8␈εε2␈↓ πD␈εQ␈↓ πc␈ε~␈␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λ*␈εQ
␈β¬H␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εT␈εα)
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αλC␈απthat␈↓ β7␈ε	⊃␈↓ β↑␈ε↔!␈εβ␈α	0␈αλa␈α␈nd␈↓ ∧↑␈ε	⊃␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬;␈εβ1␈αα+␈α∧1␈α␈/(2␈↓ ε0␈ε	r␈↓ εI␈εβ)␈↓ ε`␈εβ2␈↓ πV␈ε
k␈↓ λ<␈ε
k␈↓ λH␈επ+1␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	Q␈↓ 	≡␈εβ/␈↓ 	/␈ε	Q␈↓ 	x␈εβ).␈α
The␈απfacto␈α␈r
␈β¬U␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧o␈εε2␈↓ ε<␈εk␈↓ 	⊃␈εk␈↓ 	E␈εk␈↓ 	R␈εε+1
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓k␈εβ/␈↓ ↓|␈ε	Q␈↓ αP␈ε↔!␈εβ␈α1␈αa␈α␈s␈↓ βD␈ε	k␈↓ β←␈ε↔!␈α1␈εβ,␈α
so␈αw␈α␈e␈αcan␈αign␈α␈ore␈αit␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈↓ 	S␈ε	⊃␈↓ 	{␈εβ<␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
j␈ε	∂␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬|␈↓ ∧t␈ε↓p␈↓ πz␈ε↓p
␈β¬⎇␈↓ ↓↑␈εk␈↓ α∩␈εk␈↓ α∨␈εε+1␈↓ 	d␈εε2
␈β¬␈␈↓ β?␈ε↓p
␈βε↔␈↓ ¬_␈∧ε↔¬_αα+␈↓ λ≡␈∧ε↔λ≡ααb
␈βε~␈↓ βc␈∧ε~βcαZ
␈βε≡␈↓ ε<␈∧ε≡ε<α5␈↓ 	?␈∧ε≡	?α5
␈βε ␈↓ ε~␈ε↔p␈↓ 	≡␈ε↔p
␈βε!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αlarg␈α␈e␈↓ αI␈ε	k␈↓ αZ␈εβ.␈α∞No␈α␈w␈↓ βc␈εβ2␈↓ βt␈ε	Q␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬_␈εβ2␈↓ ¬)␈ε	Q␈↓ ¬T␈εβ+␈αλ2␈ε↔␈α␈d␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εL␈ε	Q␈↓ εu␈ε↔e␈εβ␈απ+␈αλ2␈↓ πN␈ε↔∃␈↓ λ≡␈εβ(2␈↓ λ:␈ε	Q␈↓ λe␈εβ+␈απ2␈↓ 	?␈εβ2␈↓ 	P␈ε	Q␈↓ 	{␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈απ1␈↓ ␈ε↔∃
␈βε,␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧↔␈εε+1␈↓ ¬?␈εk␈↓ εb␈εk␈↓ λP␈εk␈↓ 	f␈εk
␈βεI␈↓ εd␈ε~␈␈εε1/␈α␈(␈α↓3␈↓ π+␈εR␈↓ πJ␈εε)
␈βεJ␈↓ ↓i␈∧εJ↓iα5␈↓ ¬%␈εα(␈↓ εG␈εα)
␈βεK␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βεM␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ ↓z␈ε	Q␈↓ α∨␈εβ+␈α↓1␈αα+␈αα1␈α␈/(3␈↓ β4␈ε	R␈↓ βX␈εβ).␈α
Hen␈α␈ce␈↓ ∧T␈ε	⊃␈↓ ∧z␈ε↔∀␈↓ ¬1␈εβ1␈α↓+␈αα1/␈α␈(2␈↓ ε#␈ε	r␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εS␈εβ2␈↓ πS␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ λ ␈εβlg␈↓ λ@␈ε	⊃␈↓ λf␈εβ<␈α
0␈αεfor␈αεl␈α↓a␈α␈rge␈αεeno␈α␈ugh␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ.
␈βεQ␈↓ π>␈ε
k
␈βεW␈↓ α⊂␈εk␈↓ βK␈εk␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ε/␈εk␈↓ λP␈εε2
␈βεt␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αAlgorith␈α␈m␈α
C␈α
can␈α	also␈α
b␈α␈e␈α
mod␈α␈i|ed␈α	to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
a␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ 	↓␈ε	q␈↓ 	→␈εβ,␈↓ 	-␈ε	q␈↓ 	E␈εβ,␈↓ 	Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈εβof␈α
a␈α	si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈βε␈␈↓ 	
␈εε0␈↓ 	9␈εε1
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εβty␈α␈pe␈αth␈α␈at␈αi␈α↓s␈αba␈α␈sed␈αon␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ ¬$␈ε	n␈↓ ¬B␈ε↔→␈↓ ¬n␈ε	q␈↓ ε∂␈εβ+␈↓ ε8␈ε	q␈↓ πα␈εβafter␈αstep␈αC1␈α␈.␈α
This␈αmod␈α␈i|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αl␈α↓e␈α␈ad␈α␈s
␈βπ'␈↓ ¬z␈εk␈↓ εD␈εk␈↓ εQ␈εε+1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβto␈α
the␈αe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ate␈α(19␈α␈).
␈βπt␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈απcom␈α␈mon␈απdiviso␈α␈r␈αλof␈αλ6␈↓ ∧q␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ+␈↓ ¬'␈ε	d␈↓ ¬K␈εβand␈απ6␈↓ ε~␈ε	q␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εP␈ε	d␈↓ εt␈εβm␈α␈ust␈αλa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αλth␈α␈eir␈αλdi{erenc␈α␈e␈↓ 
C␈ε	d␈↓ 
c␈ε↔␈␈↓ π␈ε	d␈↓ #␈εβ.
␈βπz␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α%␈ε↓↓
␈βπ}␈↓ ¬7␈εε1␈↓ ε`␈εε2␈↓ 
S␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βλ∀␈↓ α→␈εε6
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈↓ α=␈εβd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈α	are␈α	2,␈α
3,␈α
4,␈α
6,␈α
8␈α␈,␈α1␈α␈,␈α
2,␈α
4,␈α
6,␈α
1,␈α
3,␈α
5␈α␈,␈α2␈α␈,␈α
4,␈α
2,␈α
so␈α	we␈α	m␈α␈u␈α␈st␈α
on␈α␈ly␈α	sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈βλ,␈↓ α→␈εε2
␈βλC␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α	most␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	the␈α	g␈α␈iv␈α␈en␈α	n␈α}um␈α}bers␈α	is␈α	div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α	b␈α␈y␈α	ea␈α␈ch␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	primes␈α	2␈α␈,␈α
3,␈α
5␈α␈.␈αClearly␈α	o␈α␈nly
␈βλk␈↓ ↓H␈εβ6␈↓ ↓X␈ε	q␈↓ ↓n␈εβ+␈απ2␈α
is␈αev␈α}en,␈α
and␈α
o␈α␈nly␈α
6␈↓ ∧B␈ε	q␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈αis␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈α3;␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
at␈α
most␈α
on␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f
␈β	∩␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈↓ α>␈ε	q␈↓ αa␈ε↔@⊃␈↓ β␈εβ3␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
5).
␈β	≥␈↓ αJ␈εk
␈β	>␈↓ ∧∩␈εk␈↓ πO␈εk␈↓ λy␈εk␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
∨␈εk
␈β	C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	t␈↓ α2␈ε↔∀␈εβ␈α∂6␈↓ αr␈ε	t␈↓ β9␈εβ+␈↓ βd␈ε	c␈↓ βq␈ε	k␈↓ ∧↓␈εβ3␈↓ ∧-␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α∞some␈α∞co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ εD␈ε	c␈↓ εQ␈εβ;␈α⊃so␈↓ π↔␈ε	t␈↓ π.␈εβ/␈↓ π>␈εβ6␈↓ πk␈ε↔∀␈↓ λ≠␈ε	t␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈εβ6␈↓ 	6␈εβ+␈↓ 	a␈ε	c␈↓ 	n␈ε	k␈↓ 	}␈εβ/␈↓ 
∂␈εβ2␈↓ 
;␈ε↔∀␈↓ 
k␈ε	t␈↓ ␈εβ+
␈β	L␈↓ ↓Z␈ε↓P
␈β	M␈↓ α⊗␈εk␈↓ α|␈εk␈↓ β
␈ε~␈␈εε1␈↓ π ␈εk␈↓ λ%␈εk␈↓ λ2␈ε~␈␈εε1␈↓ 
u␈εε0
␈β	f␈↓ αm␈εj␈↓ ¬Z␈εk
␈β	j␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	j␈↓ αL␈εβ/␈↓ α]␈εβ2␈↓ αy␈εβ)␈α
=␈↓ β8␈ε	M␈↓ β[␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧d␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε	M␈↓ ¬8␈ε↔↓␈↓ ¬I␈εβ6␈↓ ¬g␈εβ.
␈β	u␈↓ ∧M␈εk
␈β	⎇␈↓ α␈εj␈↓ α␈ε~∃␈εε1
␈β
≥␈↓ 	X␈επ2
␈β
!␈↓ α\␈εk␈↓ 	6␈ε~␈␈↓ 	O␈εt␈↓ 	d␈εε/␈α␈2
␈β
%␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈εβ2␈↓ αv␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
2␈α
th␈α␈at␈α
ex␈α}ceed␈α␈s␈α
2␈↓ π]␈ε	K␈↓ πx␈εβ.␈α⊃Se␈α␈t␈↓ λM␈ε	a␈↓ λs␈ε↔ ␈↓ 	 ␈ε	|␈↓ 	⎇␈ε	u␈↓ 
'␈εβa␈α␈nd␈↓ 
i␈ε	b␈↓ ␈ε↔ 
␈β
0␈↓ λ]␈εt␈↓ 
⊂␈εt␈↓ 
u␈εt
␈β
D␈↓ αX␈επ2
␈β
I␈↓ ↓]␈εε(2␈↓ ↓r␈εK␈↓ απ␈ε~␈␈εε2␈ε~␈␈↓ αF␈εt␈↓ αP␈εε)␈↓ αc␈εε/2
␈β
M␈↓ ↓H␈ε	|␈↓ α⎇␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ βv␈ε	u␈↓ ∧ ␈εβ=␈α
0␈α
fo␈α␈r␈↓ ¬"␈ε	t␈↓ ¬:␈ε↔∃␈↓ ¬h␈ε	K␈↓ ε∧␈εβ.␈α∩We␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
calcu␈α␈late␈α
the␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈↓ 
f␈ε	c␈↓ ␈εβ=
␈β
V␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β
W␈↓ ∧	␈εt␈↓ 
r␈εr
␈β
t␈↓ αJ␈ε	a␈↓ αf␈ε	b␈↓ β.␈εβfor␈↓ βb␈ε	r␈↓ βy␈εβ=␈α
2␈↓ ∧5␈ε	K␈↓ ∧W␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬?␈ε	s␈↓ ¬L␈εβ,␈αwhen␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε{␈ε	s␈↓ π∩␈εβ<␈↓ π=␈ε	K␈↓ πX␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈αc␈α␈an␈α
be␈α
fou␈α␈nd
␈β
␈␈↓ αZ␈εj␈↓ αr␈εr␈↓ α}␈ε~␈␈↓ β↔␈εj
␈βπ␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εj␈↓ α∨␈ε~∀␈↓ α9␈εr
␈β≡␈↓ π[␈εk
␈β"␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈ree␈αfast␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αo␈α␈rder␈↓ πJ␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αtext␈α␈'␈α↓s␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈βI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re.␈α~[Th␈α␈e␈αorigin␈αo␈α␈f␈αthis␈αtrick␈αis␈αun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈α␈.␈α↓]
␈βz␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	u␈↓ α
␈εβ∀␈↓ α4␈εβ=␈↓ α↑␈ε	u␈↓ α`␈εβ∂␈↓ βg␈εβ.␈αIn␈α	pa␈α␈rticular␈α␈,␈αif␈↓ ¬b␈ε	q␈↓ ¬z␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	w␈α␈e␈α	get␈↓ πE␈ε	u␈↓ πG␈εβ∂␈↓ λ\␈εβ,␈α
which␈α	av␈α}oids␈α	sh␈α␈u␈α␈␈␈ing
␈β∧␈↓ α∨␈εs
␈β¬␈↓ αq␈εε(␈↓ αz␈εq␈↓ βε␈εs␈↓ β⊃␈εε)␈↓ β≡␈εεmo␈α␈d␈↓ βR␈εK␈↓ πY␈εε(␈ε~␈␈↓ πz␈εr␈↓ λε␈εε)␈↓ λ∪␈εεmod␈↓ λG␈εK
␈β!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈αc␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈αin␈α␈v␈α␈e␈α␈rse␈αtran␈α␈sforms.
␈β3␈↓ ε≠␈ε↓P
␈βM␈↓ α"␈εε[␈↓ α)␈εj␈↓ α5␈εε]␈↓ λ9␈εε(␈↓ λA␈εs␈↓ λV␈εε...␈↓ λk␈εs␈↓ 	#␈εε)␈↓ 	7␈ε~↓␈εε(␈↓ 	F␈εt␈↓ 	⎇␈εε...␈↓ 
∩␈εt␈↓ 
I␈εε0␈↓ 
V␈εε...␈↓ 
k␈εε0␈↓ 
w␈εε)
␈βR␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈ε	A␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε	s␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βA␈εβ,␈↓ βO␈ε	s␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε	t␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬9␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	t␈↓ ¬←␈εβ)␈α	=␈↓ λ$␈ε	|␈↓ ␈ε↔α
␈βT␈↓ λK␈επ0␈↓ λu␈ε
k␈↓ 	↓␈ε≠␈␈επ1␈↓ 	+␈επ2␈↓ 	O␈ε
k␈↓ 	[␈ε≠␈␈επ1␈↓ 
≠␈ε
k␈↓ 
'␈ε≠␈␈↓ 
>␈ε
j␈↓ ␈επ2
␈β\␈↓ αR␈εk␈↓ α`␈ε~␈␈εε1␈↓ β[␈εk␈↓ βh␈ε~␈␈↓ ∧↓␈εj␈↓ ∧&␈εk␈↓ ∧3␈ε~␈␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬R␈εε0
␈βd␈↓ εA␈εε0␈ε~∀␈↓ εg␈εt␈↓ π≡␈εε,␈↓ π%␈εε...␈↓ π:␈εε,␈↓ πA␈εt␈↓ πx␈ε~∀␈εε␈α↓1
␈βf␈↓ ↓T␈ε↓P␈↓ αs␈ε↓P␈↓ ∧0␈ε↓P
␈βl␈↓ εp␈ε
k␈↓ ε|␈ε≠␈␈επ1␈↓ πJ␈ε
k␈↓ πV␈ε≠␈␈↓ πm␈ε
j
␈β
␈↓ α"␈εt␈↓ α,␈εp␈↓ β@␈εt␈↓ βI␈εq␈↓ λ↑␈εj␈↓  ␈εj
␈β
↓␈↓ ↓H␈εα(␈↓ α[␈εα)(␈↓ βp␈εα)
␈β
∧␈↓ α
␈ε	|␈↓ α:␈ε	u␈↓ β*␈ε	|␈↓ βU␈ε	v␈↓ ∧¬␈εβ=␈↓ ∧|␈ε	u␈↓ ¬≥␈ε	v␈↓ ¬8␈ε	S␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬i␈εβ,␈↓ ¬w␈ε	q␈↓ εε␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈↓ π↓␈ε	S␈↓ π⊗␈εβ(␈↓ π!␈ε	p␈↓ π2␈εβ,␈↓ πA␈ε	q␈↓ πO␈εβ)␈α
=␈α	0␈α	o␈α␈r␈↓ λN␈εβ2␈↓ λj␈εβ.␈αWe␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ 
β␈ε	S␈↓ 
↔␈εβ(␈↓ 
"␈ε	p␈↓ 
3␈εβ,␈↓ 
B␈ε	q␈↓ 
Q␈εβ)␈α	=␈↓ ⊂␈εβ2
␈β
∂␈↓ αM␈εp␈↓ βd␈εq␈↓ ¬∂␈εp␈↓ ¬,␈εq
␈β
↔␈↓ ↓z␈εp␈↓ β→␈εq␈↓ ∧V␈εp␈↓ ∧d␈εε,␈↓ ∧k␈εq
␈β
-␈↓ β↓␈εε2␈↓ β
␈εk␈↓ β<␈εj
␈β
2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αexa␈α␈ctly␈↓ αp␈εβ2␈↓ β~␈εβ/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βS␈εβv␈α␈alues␈αo␈α␈f␈↓ ∧←␈ε	p␈↓ ∧|␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬<␈ε	q␈↓ ¬K␈εβ.
␈β
b␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβAn␈α∞a␈α␈uto␈α␈mato␈α␈n␈α∞ca␈α␈nn␈α␈ot␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬1␈ε	z␈↓ ¬W␈εβ=␈α∂1␈α
un␈α}ti␈α↓l␈α∞it␈α∞ha␈α␈s␈↓ πY␈ε	c␈↓ πt␈ε↔∃␈εβ␈α∂2␈α␈,␈α∂and␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α∞|rst␈α∞fo␈α␈r
␈β
l␈↓ ¬=␈εε2
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓}␈εβa␈α␈t␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α
3␈↓ βπ␈ε	j␈↓ β∨␈ε↔␈␈εβ␈α	1.␈α⊃It␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ ¬T␈ε	M␈↓ ε
␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πJ␈ε	z␈↓ πb␈ε	z␈↓ πy␈ε	z␈↓ λ≡␈ε↔≤␈εβ␈α
00␈α␈0␈α
un␈α}til␈α∞time␈α
3␈α␈(␈↓ 
F␈ε	j␈↓ 
]␈ε↔␈␈εβ␈α	1).
␈β∞∀␈↓ ↓d␈εj␈↓ ¬q␈εj␈↓ πU␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ∧␈εε0
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈α∂if␈↓ β;␈ε	M␈↓ βr␈εβh␈α␈as␈↓ ∧0␈ε	z␈↓ ∧V␈ε↔≤␈εβ␈α∞0␈α∞at␈α∞time␈↓ ε≡␈ε	t␈↓ ε*␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α␈no␈α␈t␈α∞cha␈α␈ng␈α␈e␈α∞this␈α∞to␈↓ 	H␈ε	z␈↓ 	m␈εβ=␈α∂0␈α∞with␈α␈ou␈α␈t
␈β∞<␈↓ βX␈εj␈↓ ∧;␈εε0␈↓ 	S␈εε0
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈{␈α↓e␈α␈cting␈α	the␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t;␈α
bu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α	can␈α␈no␈α␈t␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈{␈α↓e␈α␈cted␈α	by␈α	th␈α␈is␈α
v␈α␈alue␈α	of␈↓ 	T␈ε	z␈↓ 	v␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α
a␈α␈t␈α
leas␈α␈t
␈β∞c␈↓ 	←␈εε0
␈β∂␈↓ ↓H␈εβtime␈↓ α∃␈ε	t␈↓ α*␈εβ+␈↓ αT␈ε	j␈↓ αk␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬S␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	j␈↓ ε∀␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ π→␈ε	n␈↓ π-␈εβ.␈α⊃Sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
arg␈α␈umen␈α}t␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈av␈α␈e
␈β∂(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α∞th␈α␈at␈α∞3␈α␈(␈↓ β_␈ε	j␈↓ β0␈ε↔␈␈εβ␈α
1)␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧3␈ε	t␈↓ ∧?␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞4␈α␈(␈↓ εL␈ε	j␈↓ εd␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α∞∀␈εβ␈α∞2␈↓ πx␈ε	n␈↓ λ␈εβ,␈α∞tha␈α␈t␈α∞is,␈↓ 	≤␈ε	j␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈ε↔␈α
∀␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
@␈εβ/␈α␈2,␈α∂i.e.,
␈β∂K␈↓ 	v␈εn
␈β∂O␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈ε↔∀␈α	b␈↓ α↔␈ε	n␈↓ α+␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α∧1␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αλis␈α	th␈α␈e␈α	b␈α␈est␈αλpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α	b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈αλthe␈αλinp␈α␈uts␈↓ λX␈ε	u␈↓ λv␈εβ=␈↓ 	 ␈ε	v␈↓ 	;␈εβ=␈↓ 	e␈εβ2␈↓ 

␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α	r␈α␈equ␈α␈i␈α↓re
␈β∂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	u␈α␈se␈α	of␈↓ α[␈ε	M␈↓ β␈εβfor␈α	all␈↓ βj␈ε	j␈↓ ∧α␈ε↔∀␈α
b␈↓ ∧:␈ε	n␈↓ ∧N␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α¬1.␈α∀(For␈αλexa␈α␈mple,␈α	no␈α␈te␈α	from␈α	Ta␈α␈ble␈α	1␈αλtha␈α␈t␈↓ 	w␈ε	M␈↓ 
)␈εβi␈α↓s␈α	n␈α␈eed␈α␈ed
␈β⊂α␈↓ αw␈εj␈↓ 
∀␈εε2
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈εβto␈α
m␈α␈ultiply␈α
t␈α␈wo␈α␈-bit␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αa␈α␈t␈αti␈α↓m␈α␈e␈α3.)
␈β⊂L␈↓ ε#␈ε∃M␈α␈IX
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβWe␈α
can␈α\sw␈α␈eep␈αthro␈α␈ug␈α␈h"␈↓ ¬␈ε	K␈↓ ¬3␈εβl␈α↓ists␈α
o␈α␈f␈↓ εa␈εβ-lik␈α␈e␈α
ins␈α␈truction␈α␈s,␈α∞ex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
|rst␈α
in␈α␈-
␈β⊂r␈↓ ε→␈εε2
␈β⊂t␈↓ ∧@␈εα(
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈uction␈απon␈απeach␈απl␈α↓ist,␈α	in␈↓ ∧'␈ε	O␈↓ ∧L␈ε	K␈↓ ∧j␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬~␈ε	N␈↓ ¬?␈εβlo␈α␈g␈↓ ¬o␈ε	N␈↓ ε∞␈εβ)␈↓ ε-␈εβsteps␈αλa␈α␈s␈αλfoll␈α↓o␈α}ws:␈α∩(1)␈αλA␈αλrad␈α␈ix␈αλlist␈αλsort␈αλ(S␈α␈ection
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈.␈α↓2␈α␈.5)␈αwil␈α↓l␈αg␈α␈rou␈α␈p␈αto␈α␈geth␈α␈er␈αall␈αiden␈α}tical␈αinstru␈α␈ction␈α␈s,␈αi␈α↓n␈αtime␈↓ λ0␈ε	O␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	K␈↓ λv␈εβ+␈↓ 	∨␈ε	M␈↓ 	B␈εβ).␈α≠(2)␈αEac␈α␈h␈αset
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.x␈ε∞␈↓ ε6ARIT␈α␈HMET␈α␈IC←FIR␈α↓ST␈αλPR␈α␈OOFS␈↓ 
↓␈ε∞19␈α␈78␈↓ 
v␈εα803
␈β↓\␈↓ 	W␈ε↔⎇
␈βα&␈↓ π␈␈εε2
␈βα*␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	j␈↓ α␈εβiden␈α}tical␈α
instru␈α␈ction␈α␈s␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
pe␈α␈rformed␈αin␈↓ πα␈ε	O␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈εβlog␈↓ πU␈ε	N␈↓ πt␈εβ)␈↓ λ∀␈εβ+␈↓ λ>␈ε	O␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	j␈↓ λp␈εβ)␈α
step␈α␈s,␈α∞a␈α␈nd␈αthe␈α␈re␈α
are
␈βαN␈↓ α
␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	N␈↓ α⊗␈εβ)␈αse␈α␈ts.␈αA␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
sw␈α␈eep␈α␈s␈αwill␈α|␈α␈nish␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
th␈α␈e␈αlists.␈αTh␈α␈e␈αr␈α␈emain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
de␈α␈tails
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α	straigh␈α}tforwar␈α␈d;␈α
for␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
arith␈α␈metic␈α	op␈α␈eratio␈α␈ns␈α	can␈αλbe␈α	sim␈α␈u␈α␈lated␈α	b␈α␈y␈α	co␈α␈n␈α␈v␈α}erting
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓d␈εβa␈α␈nd␈↓ α$␈ε	q␈↓ α>␈εβto␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α␈.␈α~[To␈αa␈α␈pp␈α␈ear.]
␈ββS␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβIf␈α∂it␈α∂ta␈α␈k␈α␈es␈↓ β/␈ε	T␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	n␈↓ βe␈εβ)␈α∂step␈α␈s␈α∂to␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε ␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α⊂w␈α␈e␈α∞can␈α∞ac␈α␈comp␈α␈li␈α↓sh␈α∞th␈α␈e␈α∂m␈α}ulti-
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α∞o␈α␈f␈↓ α}␈ε	m␈↓ β≠␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞b␈α␈y␈↓ ∧⊂␈ε	n␈↓ ∧$␈εβ-bit␈α∞by␈α
brea␈α␈kin␈α␈g␈α∞the␈↓ εb␈ε	n␈↓ εv␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞in␈α␈to␈ε↔␈α∞d␈↓ 	π␈ε	n␈↓ 	≠␈εβ/␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	I␈ε↔e␈↓ 	d␈ε	m␈↓ 
↓␈εβ-bit␈α∞gro␈α␈up␈α␈s,
␈β∧#␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈ε↔␈α
d␈↓ α+␈ε	n␈↓ α?␈εβ/␈↓ αP␈ε	m␈↓ αm␈ε↔e␈↓ αz␈ε	T␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	m␈↓ β:␈εβ)␈αε+␈↓ βs␈ε	O␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ+␈↓ ∧Y␈ε	m␈↓ ∧w␈εβ)␈α
op␈α␈eration␈α␈s.␈αThe␈α
resu␈α␈l␈α↓ts␈α
of␈αth␈α␈is␈αsec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
there␈α␈fore␈α
giv␈α␈e␈α
an
␈β∧J␈↓ ↓H␈εβe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ated␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
time␈α
of␈↓ ∧W␈ε	O␈↓ ∧o␈εβ(␈↓ ∧{␈ε	n␈↓ ¬∀␈εβlog␈↓ ¬D␈ε	m␈↓ ¬g␈εβlog␈↓ ε↔␈εβlog␈↓ εG␈ε	m␈↓ εe␈εβ)␈α
on␈α
Tu␈α␈ring␈α
ma␈α␈chine␈α␈s,␈α∂o␈α␈r␈↓ 	g␈ε	O␈↓ 	␈␈εβ(␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
#␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 
S␈ε	m␈↓ 
q␈εβ)␈α
on
␈β∧r␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αwith␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αac␈α␈cess␈αto␈αw␈α␈o␈α␈rds␈αof␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αsize,␈αor␈↓ λ'␈ε	O␈↓ λ?␈εβ(␈↓ λJ␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ)␈αon␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ter␈αmac␈α␈hine␈α␈s.
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∩∪8:<>PXprxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=∂∪!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJLMNOPRSTVW[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}␈␈/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=∂∪∀"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCEFHIJKLMNPRSTUW[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,./012345<=[]dglmouu/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,./01236<[]dglmoo/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+0122/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=∞∂⊃→ACKLMOTUVWabcdefijklmnqrstuvwxyz||/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=∂⊃012345689AKMNOQRSTUVWabcdjklmnpqrstuvwxz||/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=KLadefijklmnrstt/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=KQRejkmnopqrstt/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=jkk/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=1789ACEFHIMNOPRSTWX←←/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∪,-.ABCDEFHIJMRSTacdefghilmnopqrstuvwyy/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=./:ACHIJMNPSacdeghilmnoprstyy/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=.12347ACDEFRU↑acdefghilmnoprstuv||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.01234567899/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=IMXX/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓∀∃→≤ !1bcjp⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓α⊃∀∃→≤ !1@bcdefgp⎇⎇/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓⊃∀0depp/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=↓∀∃dee/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=CEIRSXX